Para números $a,b \in \mathbb{R}$ consideramos los conjuntos:\n\n$$A=\{a^n | n \in \mathbb{N}\} , B=\{b^n | n \in \mathbb{N}\}$$\n\nEncuentre todos los $a,b > 1$ para los cuales existen dos polinomios reales no constantes $P,Q$ con coeficientes principales positivos tal que para cada $r \in \mathbb{R}$:\n\n$$ P(r) \in A \iff Q(r) \in B$$

encuentre todas las $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que:\n\n$$f(f(x)+yf(y))=x+|y|^2$$\n\npara todo $x,y \in \mathbb{C}$

Dados $12$ números complejos $z_1,...,z_{12}$ tal que para cada $1 \leq i \leq 12$:\n\n$$|z_i|=2 , |z_i - z_{i+1}| \geq 1$$\n\npruebe que:\n\n$$\sum_{1 \leq i \leq 12} \frac{1}{|z_i\overline{z_{i+1}}+1|^2} \geq \frac{1}{2}$$

Hay infinitos de los siguientes bloques en la mesa: $1*1 , 1*2 , 1*3 ,.., 1*n$. Tenemos una tabla de $n*n$ y Ali escoge algunos de estos bloques de tal manera que la suma de sus áreas es al menos $n^2$. Luego, Amir intenta cubrir la tabla de $n*n$ de tal manera que ninguno de los bloques salga de la tabla y no se superpongan y quiere maximizar el área cubierta en la tabla de $n*n$ con esos bloques escogidos por Ali. Sea $k$ el área máxima cubierta independiente de la elección de Ali. Pruebe que:\n\n$$n^2 - \lceil \frac{n^2}{4} \rceil \leq k \leq n^2 - \lfloor \frac{n^2}{8} \rfloor$$ *Nota: los bloques pueden ser colocados solo vertical u horizontalmente.

Encuentre el número de permutaciones de $\{1,2,...,n\}$ como $\{a_1,...,a_n\}$ tal que para cada $1 \leq i \leq n$:\n\n$$a_i | 2i$$

Sean $n$ y $a \leq n$ dos enteros positivos. Hay $2n$ personas sentadas alrededor de un círculo regularmente. Dos personas son amigas si la distancia entre ellas en el círculo es $a$ (es decir, $a-1$ personas están entre ellas). Encuentre todos los enteros $a$ en términos de $n$ tal que podemos escoger $n$ de estas personas, ninguna de ellas posicionada frente a la otra (significa que no son antípodas una de la otra en el círculo) y el total de amistad entre ellas es un número impar.

Sea $K$ un número impar tal que $S_2{(K)} = 2$ y sea $ab=K$ donde $a,b$ son enteros positivos. Muestre que si $a,b>1$ y $l,m >2$ son enteros positivos tal que : $S_2{(a)} < l$ y $S_2{(b)} < m$ entonces:\n\n$$K \leq 2^{lm-6} +1$$\n\n( $S_2{(n)}$ es la suma de los dígitos de $n$ escrito en base 2)

Sea $N$ el número de pares ordenados $(x,y)$ tal que $1 \leq x,y \leq p(p-1)$ y:\n\n$$x^{y} \equiv y^{x} \equiv 1 \pmod{p}$$\n\ndonde $p$ es un número primo fijo. Muestre que:\n\n$$(\phi {(p-1)}d(p-1))^2 \leq N \leq ((p-1)d(p-1))^2$$\n\ndonde $d(n)$ es el número de divisores de $n$

Encuentre todos los enteros $n > 4$ tal que para cada dos subconjuntos $A,B$ de $\{0,1,....,n-1\}$, existe un polinomio $f$ con coeficientes enteros tal que o $f(A) = B$ o $f(B) = A$ donde las ecuaciones son consideradas mod n. Decimos que dos subconjuntos son iguales mod n si producen el mismo conjunto de residuos mod n. y el conjunto $f(X)$ es el conjunto de residuos de $f(x)$ donde $x \in X$ mod n.

En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$, $H$ es el ortocentro. $S$ es un punto en $(AHC)$ tal que $\angle ASB = 90$. $P$ está en $AC$ y no en la extensión de $AC$ desde $A$, tal que $\angle APS=\angle BAS$. Pruebe que $CS$, el círculo $(BPC)$ y el círculo con diámetro $AC$ son concurrentes.