Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ una función con la propiedad de que $ (f\circ f) (x) =[x], $ para cualquier número real $ x. $ Muestra que existen dos números reales distintos $ a,b $ tal que $ |f(a)-f(b)|\ge |a-b|. $ $ [] $ denota la parte entera.

Sea $ n $ un número natural. ¿Cuántos números de la forma $ \pm 1\pm 2\pm 3\pm\cdots\pm n $ hay?

En los lados $ AB,BC,CD,DA $ del paralelogramo $ ABCD, $ considera los puntos $ M,N,P, $ respectivamente, $ Q, $ tal que $ \overrightarrow{MN} +\overrightarrow{QP} =\overrightarrow{AC} . $ Muestra que $ \overrightarrow{PN} +\overrightarrow{QM} = \overrightarrow{DB} . $

Encuentra todos los enteros positivos $m$ tales que $$\{\sqrt{m}\} = \{\sqrt{m+ 2011}\}.$$

Sea $ABCA'B'C'$ un prisma triangular recto con las bases triángulos equiláteros. Un plano $\alpha$ que contiene el punto $A$ intersecta los rayos $BB'$ y $CC'$ en los puntos $E$ y $F$, de modo que $S_ {ABE} + S_{ACF} = S_{AEF}$. Determina la medida del ángulo formado por el plano $(AEF)$ con el plano $(BCC')$.

a) Demuestra que $m^2- m +1$ es un elemento del conjunto $\{n^2 + n +1 | n \in N\}$, para cualquier entero positivo $ m$.\nb) Sea $p$ un cuadrado perfecto, $p> 1$. Prueba que existen enteros positivos $r$ y $q$ tales que $$p^2 + p +1=(r^2 + r + 1)(q^2 + q + 1).$$

Encuentra los números reales $x$ e $y$ tales que $$(x^2 -x +1)(3y^2-2y + 3) -2=0.$$

Encuentra la suma de los elementos del conjunto $$M = \left\{ \frac{n}{2}+\frac{m}{5} \,\, | m, n = 0, 1, 2,..., 100\right\}$$

Un entero positivo $N$ tiene los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ y $7$, de modo que cada dígito $i$, $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ocurre $4i$ veces en la representación decimal de $N$. Demuestra que $N$ no es un cuadrado perfecto.

El trapecio isósceles $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. La paralela a las bases a través del punto de intersección de las diagonales intersecta los lados no paralelos $[BC]$ y $[AD]$ en los puntos $P$ y $R$ respectivamente. El punto $Q$ es simétrico del punto $P$ con respecto al punto medio del segmento $[BC]$. Prueba que:\na) $QR = AD$,\nb) $QR \perp AD$.