Hay $n$ puntos negros en el plano. Hacemos el siguiente algoritmo: Empezamos desde cualquier punto de esos $n$ puntos y lo coloreamos de rojo. Luego conectamos este punto al punto negro disponible más cercano y coloreamos este nuevo punto de rojo. Luego hacemos lo mismo con este punto pero en cada paso, pero nunca se permite dibujar una línea que intersecte uno de los segmentos dibujados actualmente. Si se alcanza una intersección, el algoritmo termina. ¿Es cierto que para cualquier $n$ y en cualquier posición inicial, podemos empezar desde un punto tal que en el algoritmo, alcanzamos todos los puntos?

Para cualquier función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definimos $P(n)=f(1)f(2)...f(n)$. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que para cada $a,b$:\n\n$$P(a)+P(b) | a! + b!$$

Para cada $k$, encuentre el menor $n$ en términos de $k$ tal que lo siguiente se cumple: Existen $n$ números reales $a_1 , a_2 ,\cdot \cdot \cdot , a_n$ tal que para cada $i$:\n\n$$0 < a_{i+1} - a_{i} < a_i - a_{i-1}$$\n\nY, existen $k$ pares $(i,j)$ tal que $a_i - a_j = 1$.

¿Existen biyecciones $f,g$ desde los enteros positivos a sí mismos tal que:\n\n$$g(n)=\frac{f(1)+f(2)+ \cdot \cdot \cdot +f(n)}{n}$$\n\nse cumple para cualquier $n$?

En el triángulo $\triangle ABC$, $M, N$ son los puntos medios de $AC,AB$ respectivamente. Asuma que $BM,CN$ cortan a $(ABC)$ en $M',N'$ respectivamente. Sea $X$ en la extensión de $BC$ desde $B$ tal que $\angle N'XB=\angle ACN$. Y defina $Y$ similarmente en la extensión de $BC$ desde $C$. Pruebe que $AX=AY$.

Una hormiga camina sobre la superficie interior de un cubo, se mueve en línea recta. Si la hormiga llega a una arista, entonces se mueve en línea recta en la red del cubo. Además, si llega a un vértice, regresará su camino. a) Demuestra que para cada punto de inicio la hormiga puede tener infinitas opciones para su dirección que su camino se vuelve periódico. b) Demuestra que si la hormiga comienza desde el punto $A$ y su camino es periódico, entonces para cada punto $B$ si la hormiga comienza con esta dirección, entonces su camino se vuelve periódico.

$A,B,C$ están en el círculo $\mathcal C$. $I$ es el incentro de $ABC$, $D$ es el punto medio del arco $BAC$. $W$ es un círculo que es tangente a $AB$ y $AC$ y tangente a $\mathcal C$ en $P$. ( $W$ está en $\mathcal C$ ) Demuestra que $P$ e $I$ y $D$ están en una línea.

Encuentra todos los polinomios $p$ con coeficientes reales tal que si para un $a$ real, $p(a)$ es entero entonces $a$ es entero.

Hace 15000 años, el ministerio Tilif en Persia decidió definir un código para $n\geq2$ ciudades. Cada código es una secuencia de $0,1$ tal que ningún código comienza con otro código. Sabemos que de $2^{m}$ llamadas de países extranjeros a Persia, $2^{m-a_{i}}$ de ellas fueron de la $i$ - ésima ciudad (Entonces $\sum_{i=1}^{n}\frac1{2^{a_{i}}}=1$ ) . Sea $l_{i}$ la longitud del código asignado a la $i$ - ésima ciudad. Demuestra que $\sum_{i=1}^{n}\frac{l_{i}}{2^{i}}$ es mínimo si y sólo si $\forall i,\ l_{i}=a_{i}$

El excírculo del triángulo $ABC$ correspondiente al vértice $A$, es tangente a $BC$ en $P$. $AP$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $D$. Demuestra que \[r(PCD)=r(PBD)\] donde $r(PCD)$ y $r(PBD)$ son los inradios de los triángulos $PCD$ y $PBD$.