Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes racionales, de grado $d \ge 2$ , definimos la secuencia de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots$ como $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ , $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$ . (Dado un conjunto $S$ , escribimos $f(S)$ para el conjunto $\{f(x)\mid x\in S\})$ . Sea $f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})$ el conjunto de números que están en todos los conjuntos $f^n(\mathbb{Q})$ , $n\geq 0$ . Demuestre que $f^{\omega}(\mathbb{Q})$ es un conjunto finito.

Sea $n$ un entero positivo dado. Se dice que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano está conectado si para cada par de puntos $R, S\in K$ , existe un entero positivo $\ell$ y una secuencia $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$ , donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$ . Para tal conjunto $K$ , definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conectados $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano?

Determine si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ con dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, que satisfagan las siguientes condiciones: \n(i) $A$ es un punto entero (i.e $a_1$ y $a_2$ son enteros); \n(ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$ ; \n(iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todos los puntos enteros $(n_1, n_2)$ en el plano distintos de $A$ ; \n(iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todos los puntos enteros $(x_1, x_2)$ en el plano distintos de $B$ .

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin ningún par de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$ , defina $\omega_1$ como el círculo que toca el cuadrilátero externamente, y que es tangente a las líneas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$ así que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$ ) . Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$ . Demuestre que las líneas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y sólo si las líneas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$ , encuentre el mayor número real $C_n$ con la siguiente propiedad. Dado cualquier $n$ funciones con valores reales $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ definidas en el intervalo cerrado $0 \le x \le 1$ , uno puede encontrar números $x_1, x_2, \cdots x_n$ , tales que $0 \le x_i \le 1$ satisfaciendo \[|f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots f_n(x_n)-x_1x_2\cdots x_n| \ge C_n\]

Para un conjunto finito no vacío de primos $P$ , sea $m(P)$ el mayor número posible de enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos un miembro de $P$ . \n(i) Demuestre que $|P|\le m(P)$ , con igualdad si y sólo si $\min(P)>|P|$ . \n(ii) Demuestre que $m(P)<(|P|+1)(2^{|P|}-1)$ . (El número $|P|$ es el tamaño del conjunto $P$ )

En un triángulo $A_1A_2A_3$ , los círculos exinscritos correspondientes a los lados $A_2A_3$ , $A_3A_1$ , $A_1A_2$ tocan estos lados en $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ , respectivamente. Si $H_1$ , $H_2$ , $H_3$ son los ortocentros de los triángulos $A_1T_2T_3$ , $A_2T_3T_1$ , $A_3T_1T_2$ , respectivamente, pruebe que las líneas $H_1T_1$ , $H_2T_2$ , $H_3T_3$ son concurrentes.

Sea un anillo $ A. $ Denota con $ N(A) $ el subconjunto de todos los elementos nilpotentes de $ A, $ con $ Z(A) $ el centro de $ A, $ y con $ U(A) $ las unidades de $ A. $ Prueba:\na) $ Z(A)=A\implies N(A)+U(A)=U(A) . $\nb) $ \text{card} (A)\in\mathbb{N}\wedge a+U(A)\subset U(A)\implies a\in N(A) . $

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua y no decreciente.\na) Muestra que la sucesión $ \left( \frac{1}{2^n}\sum_{i=1}^{2^n} f\left(\frac{i}{2^n}\right) \right)_{n\ge 1} $ es no creciente.\nb) Prueba que, si existe algún índice natural en el que la sucesión anterior es igual a $ \int_0^1 f(x)dx, $ entonces $ f $ es constante.

Sea $ G $ el conjunto de matrices de la forma $ \begin{pmatrix} a&b\\0&1 \end{pmatrix} , $ con $ a,b\in\mathbb{Z}_7,a\neq 0. $\na) Verifica que $ G $ es un grupo.\nb) Muestra que $ \text{Hom}\left( (G,\cdot) ; \left( \mathbb{Z}_7,+ \right) \right) =\{ 0\} $