Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB=AC$ y $\angle A>60^\circ$ . Sea $O$ el circuncentro de $ABC$ . El punto $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $BOC$ tal que $BP\parallel AC$ y el punto $K$ se encuentra en el segmento $AP$ tal que $BK=BC$ . Demuestre que $CK$ biseca el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $BOC$ .

Dado un número $k\in \mathbb{N}$ . $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ y $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ son dos secuencias de enteros positivos que $a_{i},b_{i}\in \{1,2,\cdots,9\}$ . Para todo $n\geq 0$ $$\left.\overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}+k \ \middle| \ \overline{b_{n}\cdots b_{1}b_{0}}+k \right. .$$ Demuestre que existe un número $1\leq t \leq 9$ y $N\in \mathbb{N}$ tal que $b_n=ta_n$ para todo $n\geq N$ . (Tenga en cuenta que $(\overline{x_nx_{n-1}\dots x_0}) = 10^n\times x_n + \dots + 10\times x_1 + x_0$ )

Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$. El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $BC$ en $D$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el lado BC tales que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle QAC = \angle ABC$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $ABP$ y $ACQ$, respectivamente. Demuestra que $AD$ es la línea de Euler del triángulo $IKL$.

Se dan $2021$ puntos en el plano en posición convexa, no tres colineales y no cuatro concíclicos. Demuestra que existen dos de ellos tales que todo círculo que pasa por estos dos puntos contiene al menos $673$ de los otros puntos en su interior. (Un conjunto finito de puntos en el plano están en posición convexa si los puntos son los vértices de un polígono convexo.)

Considera un triángulo $ABC$ con alturas $AD, BE$ y $CF$, y ortocentro $H$. Sea la línea perpendicular desde $H$ a $EF$ que intersecta a $EF, AB$ y $AC$ en $P, T$ y $L$, respectivamente. El punto $K$ se encuentra en el lado $BC$ tal que $BD=KC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $H$ y $P$, que es tangente a $AH$. Demuestra que el circuncírculo del triángulo $ATL$ y $\omega$ son tangentes, y $KH$ pasa por el punto de tangencia.

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ de nuevo en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ se encuentra con $\Gamma_1$ de nuevo en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados diferentes de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demuestra que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las líneas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

Se da el triángulo acutángulo $ABC$ con circuncírculo $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ a $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$ ) tal que $\angle BHE=\angle ABC$. Demuestra que $\angle BHF=90^\circ$.

Considera un pentágono convexo $ABCDE$ y un punto variable $X$ en su lado $CD$. Supón que los puntos $K, L$ se encuentran en el segmento $AX$ tal que $AB = BK$ y $AE = EL$ y que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CXK$ y $DXL$ se intersectan por segunda vez en $Y$. A medida que $X$ varía, demuestra que todas esas líneas $XY$ pasan por un punto fijo, o son todas paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con su incentro $I$ y su circuncírculo $\Gamma$. La línea $AI$ intersecta a $\Gamma$ por segunda vez en $M$. Sea $N$ el punto medio de $BC$ y $T$ el punto en $\Gamma$ tal que $IN \perp MT$. Finalmente, sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $TB $ y $TC$, respectivamente, con la línea perpendicular a $AI$ en $I$. Demuestra que $PB = CQ$.

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB = BC $ y $\angle ABD = \angle BCD = 90$. Sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. El punto $F$ se encuentra en el lado $AD$ tal que $\frac{AF}{F D}=\frac{CE}{EA}$ . . El círculo $\omega$ con diámetro $DF$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABF$ se intersectan por segunda vez en el punto $K$. El punto $L$ es la segunda intersección de $EF$ y $\omega$. Demuestra que la línea $KL$ pasa por el punto medio de $CE$.