a) Determine todas las 4-tuplas $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ de enteros distintos por pares tales que cada $x_k$ sea coprimo con $x_{k+1}$ (índices reducidos módulo 4) y la suma cíclica $\frac{x_0}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_1}$ sea un entero. \nb) Demuestre que hay infinitas 5-tuplas $(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)$ de enteros distintos por pares tales que cada $x_k$ es coprimo con $x_{k+1}$ (índices reducidos módulo 5) y la suma cíclica $\frac{x_0}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_0}$ es un entero.

Dado un entero positivo impar $n$, demuestre que la media aritmética de las partes fraccionarias $\{\frac{k^{2n}}{p}\}$, $k=1,..., \frac{p-1}{2}$ es la misma para infinitos números primos $p$.

Dado un entero $n\geq 2$, determine el valor máximo que la suma $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}$ puede alcanzar, y los puntos en los que se alcanza el máximo, cuando $a_1,a_2,...a_n$ recorren todos los números reales positivos sujetos a $a_k\geq a_1+a_2...+a_{k-1}$, para $k=2,...n$

Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales todos los divisores positivos de $n$ se pueden colocar en las celdas de una tabla rectangular bajo las siguientes restricciones: cada celda contiene un divisor distinto; las sumas de todas las filas son iguales; y las sumas de todas las columnas son iguales.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$, sean $G,H$ su centroide y ortocentro. Sea $D$ la proyección ortogonal de $A$ sobre la recta $BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. La circunferencia circunscrita de $ABC$ cruza el rayo $HM$ que emana de $M$ en $P$ y el rayo $DG$ que emana de $D$ en $Q$, fuera del segmento $DG$. Demuestre que las rectas $DP$ y $MQ$ se encuentran en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Sea $M$ un conjunto de $13$ enteros positivos con la propiedad de que $\forall m\in M, 100\leq m\leq 999$. Demuestra que existe un subconjunto $S\subset M$ y una combinación de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división – sin usar paréntesis) entre los elementos de $S$, tal que el valor de la expresión resultante es un número racional en el intervalo $(3,4)$.

Sean $p,q$ enteros positivos. Para cualquier $a,b\in\mathbb{R}$ define los conjuntos $$P(a)=\bigg\{a_n=a + n \cdot \frac{1}{p} : n\in\mathbb{N}\bigg\}\text{ y }Q(b)=\bigg\{b_n=b + n \cdot \frac{1}{q} : n\in\mathbb{N}\bigg\}.$$ La distancia entre $P(a)$ y $Q(b)$ es el valor mínimo de $|x-y|$ cuando $x\in P(a), y\in Q(b)$. Encuentra el valor máximo de la distancia entre $P(a)$ y $Q(b)$ cuando $a,b\in\mathbb{R}$.

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sea $AD$ la altura desde $A$ ($D\in BC$). Sean $M,N,P$ y $Q$ los puntos medios de $AB,AC,BD$ y $CD$ respectivamente. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMN$ y $POQ$. Demuestra que $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2\cap AD\neq \emptyset$.

Sean $a,b,c>0$ números reales con la propiedad de que $a+b+c=1$. Demuestra que \[\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}\geq\frac{7}{1+abc}.\]

Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Demuestra que existe un entero positivo $m$, tal que $n\mid m, \ m<n^4$ y a lo sumo cuatro dígitos distintos se utilizan en la representación decimal de $m$.