Dado un número $k\in \mathbb{N}$ . $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ y $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ son dos secuencias de enteros positivos que $a_{i},b_{i}\in \{1,2,\cdots,9\}$ . Para todo $n\geq 0$ $$\left.\overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}+k \ \middle| \ \overline{b_{n}\cdots b_{1}b_{0}}+k \right. .$$ Demuestre que existe un número $1\leq t \leq 9$ y $N\in \mathbb{N}$ tal que $b_n=ta_n$ para todo $n\geq N$ . (Tenga en cuenta que $(\overline{x_nx_{n-1}\dots x_0}) = 10^n\times x_n + \dots + 10\times x_1 + x_0$ )