3 En el conjunto $S$ hay una operación $'' \circ ''$ tal que $\forall a,b \in S$ , existe un único $a \circ b \in S$ . Y (i) $\forall a,b,c \in S$ , $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ . (ii) $a \circ b \neq b \circ a$ cuando $a \neq b$ . Demuestre que: a.) $\forall a,b,c \in S$ , $(a \circ b) \circ c = a \circ c$ . b.) Si $S = \{1,2, \ldots, 1990\}$ , intente definir una operación $'' \circ ''$ en $S$ con las propiedades anteriores.

7 Demuestre que para cualesquiera cuatro números reales positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ se cumple la desigualdad \[ \frac {(a - b)(a - c)}{a + b + c} + \frac {(b - c)(b - d)}{b + c + d} + \frac {(c - d)(c - a)}{c + d + a} + \frac {(d - a)(d - b)}{d + a + b}\ge 0\] . Determine todos los casos de igualdad. Autor: Darij Grinberg (Propuesta del problema), Christian Reiher (Solución), Alemania

1 En el plano consideramos rectángulos cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas y tienen longitud positiva. Tal rectángulo se llamará caja . Dos cajas se intersecan si tienen un punto común en su interior o en su frontera. Halle la mayor $ n$ para la cual existen $ n$ cajas $ B_1$ , $ \ldots$ , $ B_n$ tales que $ B_i$ y $ B_j$ se intersecan si y solo si $ i\not\equiv j\pm 1\pmod n$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

2 Sea $n \in \mathbb N$ y $A_n$ el conjunto de todas las permutaciones $(a_1, \ldots, a_n)$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ para las cuales \[k|2(a_1 + \cdots+ a_k), \text{ for all } 1 \leq k \leq n.\] Halle el número de elementos del conjunto $A_n$ . Propuesto por Vidan Govedarica, Serbia

5 Considera el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a otro término de la sucesión. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, se tiene $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentra los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

3 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función de valores reales definida sobre el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ y $y$ . Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$ . Propuesto por Igor Voronovich, Bielorrusia Amir

9 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $P$ un punto interior a él tal que $\angle PAC = \angle PBC$ . Las perpendiculares trazadas desde $P$ a $BC$ y $CA$ intersecan estas rectas en $L$ y $M$ , respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$ . Demuestre que $DL = DM.$ Amir

4 Demuestre que para cualquier entero positivo $ n\geq 4$ , existe una permutación de los subconjuntos que contienen al menos dos elementos del conjunto $ G_{n} = \{1,2,3,\cdots,n\}$ : $ P_{1},P_{2},\cdots,P_{2^n - n - 1}$ tal que $ |P_{i}\cap P_{i + 1}| = 2,i = 1,2,\cdots,2^n - n - 2.$ Fang-jh

1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales mayores que $1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{ab}{c-1}+\frac{bc}{a - 1}+\frac{ca}{b -1} \ge 12.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)

A3 Sea $p(z)$ un polinomio de grado $n,$ cuyas raíces tienen todas valor absoluto $1$ en el plano complejo. Pon $g(z)=\frac{p(z)}{z^{n/2}}.$ Demuestra que todas las raíces de $g'(z)=0$ tienen valor absoluto $1.$