4 En un triángulo acutángulo $ ABC$ los segmentos $ BE$ y $ CF$ son alturas. Dos círculos que pasan por los puntos $ A$ y $ F$ y son tangentes a la recta $ BC$ en los puntos $ P$ y $ Q$ , de modo que $ B$ se encuentra entre $ C$ y $ Q$ . Demuestre que las rectas $ PE$ y $ QF$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ AEF$ . Propuesto por Davood Vakili, Irán

5 Sean $ k$ y $ n$ enteros con $ 0\le k\le n - 2$ . Considere un conjunto $ L$ de $ n$ rectas en el plano tal que no hay dos de ellas paralelas ni tres con un punto común. Denote por $ I$ el conjunto de las intersecciones de las rectas en $ L$ . Sea $ O$ un punto del plano que no se encuentra sobre ninguna recta de $ L$ . Un punto $ X\in I$ se colorea de rojo si el segmento de recta abierto $ OX$ interseca a lo sumo $ k$ rectas en $ L$ . Demuestre que $ I$ contiene al menos $ \dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$ puntos rojos. Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

6 Se da un cuadrilátero convexo $ ABCD$ . Demuestre que existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero tal que \[ \angle PAB + \angle PDC = \angle PBC + \angle PAD = \angle PCD + \angle PBA = \angle PDA + \angle PCB = 90^{\circ} \] si y solo si las diagonales $ AC$ y $ BD$ son perpendiculares. Propuesto por Dusan Djukic, Serbia

5 Para dos enteros positivos dados $ m,n > 1$ , sean $ a_{ij} (i = 1,2,\cdots,n, \; j = 1,2,\cdots,m)$ números reales no negativos, no todos cero; halle los valores máximo y mínimo de $ f$ , donde \[ f = \frac {n\sum_{i = 1}^{n}(\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + m\sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i= 1}^{n}a_{ij})^2}{(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}^2}. \] Fang-jh

5 Cada punto de un círculo se colorea con uno de $10$ colores. ¿Es verdad que para cualquier coloración hay $4$ puntos del mismo color que son vértices de un cuadrilátero con dos lados paralelos (un trapecio isósceles o un rectángulo)?

6 Suponga que a cada entero se le ha asignado uno de los colores rojo, azul, verde o amarillo. Sean $x$ e $y$ enteros impares tales que $|x| \neq |y|$ . Muestre que hay dos enteros del mismo color cuya diferencia tiene uno de los siguientes valores: $x,y,x+y$ o $x-y$ .

5 Sea $n$ un entero positivo par. Decimos que dos celdas diferentes de un tablero $n \times n$ son vecinas si tienen un lado común. Halle el número mínimo de celdas del tablero $n \times n$ que deben marcarse para que cualquier celda (marcada o no marcada) tenga una celda vecina marcada.

2 Halle todas las tuplas de enteros positivos \((a,b,c,d)\) que satisfacen las siguientes condiciones: (a) \(2^{2\alpha} \parallel a\) , donde \(\alpha\) es un entero positivo (es decir, \(2^{2\alpha}\) divide a \(a\) pero \(2^{2\alpha+1}\) no lo divide, y \(\alpha \geq 1\) ) . (b) \(4 \mid b+1\) y \(2 \mid d\) . (c) La representación en base - \(b\) de \(c^d\) consiste exactamente de \(a\) dígitos todos iguales a 1, es decir, \(c^d = \left( \underbrace{11\cdots 1}_{a \text{ digits}} \right)_b\) .

G2 Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC,$ sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC,$ y sea $r$ su radio. El punto $P$ se elige en $\overline{AC}$ tal que $BC=CP,$ y el punto $S$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a $\overline{AB}$ . El rayo $BP$ corta de nuevo a $\omega$ en $D$ . El punto $Q$ se elige en la recta $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ están en una recta en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$ . Demuestre que $E$ está en $\omega$ .

2 Halle el valor máximo de $M$ tal que, si se eligen $10$ números reales distintos cualesquiera en $[1,M]$ , deben existir $3$ números $a<b<c$ que satisfagan que $ax^2+bx+c=0$ no tiene raíz real.