Una permutación de los enteros $1901, 1902, \cdots, 2000$ es una secuencia $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ en la que cada uno de esos enteros aparece exactamente una vez. Dada tal permutación, formamos la secuencia de sumas parciales\n\[s_1 = a_1,\;\;s_2 = a_1 + a_2,\;\;s_3 = a_1 + a_2 + a_3, \; \ldots\;, \; s_{100} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{100}.\]\n¿Cuántas de estas permutaciones no tendrán términos de la secuencia $s_1, \ldots, s_{100}$ divisibles por tres?

A las 12:00 del mediodía, Anne, Beth y Carmen comienzan a correr vueltas alrededor de una pista circular de 300 metros de longitud, todas comenzando desde el mismo punto de la pista. Cada corredor mantiene una velocidad constante en una de las dos direcciones posibles por un período indefinido de tiempo. Demuestre que si la velocidad de Anne es diferente de las otras dos velocidades, entonces en algún momento posterior Anne estará al menos a 100 metros de cada uno de los otros corredores. (Aquí, la distancia se mide a lo largo del arco más corto que separa a dos corredores.)

Sea $k$ un entero positivo par dado. Sarah primero escoge un entero positivo $N$ mayor que $1$ y procede a alterarlo de la siguiente manera: cada minuto, ella elige un divisor primo $p$ del valor actual de $N$, y multiplica el $N$ actual por $p^k -p^{-1}$ para producir el siguiente valor de $N$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos pares $k$ tales que, sin importar las elecciones que Sarah haga, su número $N$ en algún momento será divisible por $2018$.

Encuentre todos los polinomios $p(x)$ con coeficientes reales que tienen la siguiente propiedad: existe un polinomio $q(x)$ con coeficientes reales tal que $$p(1) + p(2) + p(3) +\dots + p(n) = p(n)q(n)$$ para todos los enteros positivos $n$.

Dos enteros positivos $a$ y $b$ son primos relacionados si $a = pb$ o $b = pa$ para algún primo $p$. Encuentre todos los enteros positivos $n$, tales que $n$ tiene al menos tres divisores, y todos los divisores pueden ser dispuestos sin repetición en un círculo de modo que dos divisores adyacentes sean primos relacionados. Note que $1$ y $n$ están incluidos como divisores.

Sean cinco puntos en un círculo etiquetados $A, B, C, D$ y $E$ en el sentido de las agujas del reloj. Asuma que $AE = DE$ y sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$. Sea $Q$ el punto en la línea que pasa por $A$ y $B$ tal que $A$ está entre $B$ y $Q$ y $AQ = DP$. Similarmente, sea $R$ el punto en la línea que pasa por $C$ y $D$ tal que $D$ está entre $C$ y $R$ y $DR = AP$. Demuestre que $PE$ es perpendicular a $QR$.

Considere una disposición de fichas en el plano, no necesariamente en puntos distintos. Se nos permite aplicar una secuencia de movimientos del siguiente tipo: seleccionar un par de fichas en los puntos $A$ y $B$ y mover ambas al punto medio de $A$ y $B$. Decimos que una disposición de $n$ fichas es colapsable si es posible terminar con las $n$ fichas en el mismo punto después de un número finito de movimientos. Demuestre que toda disposición de $n$ fichas es colapsable si y sólo si $n$ es una potencia de $2$.

Se da una secuencia de $X$ s y $O$ s, de tal manera que no hay tres caracteres consecutivos en la secuencia que sean todos iguales, y sea $N$ el número de caracteres en esta secuencia. Maia puede intercambiar dos caracteres consecutivos en la secuencia. Después de cada intercambio, cualquier bloque consecutivo de tres o más del mismo carácter se borrará (si hay múltiples bloques consecutivos de tres o más caracteres después de un intercambio, entonces se borrarán al mismo tiempo), hasta que no haya más bloques consecutivos de tres o más del mismo carácter. Por ejemplo, si la secuencia original fuera $XXOOXOXO$ y Maia intercambia el quinto y sexto carácter, el resultado final será $$XXOOOXXO \to XXXXO \to O.$$ Encuentra el valor máximo $N$ para el cual Maia no necesariamente puede borrar todos los caracteres después de una serie de intercambios. Se otorgará crédito parcial por pruebas correctas de límites inferiores y superiores en $N$.

En el triángulo $ABC$, sea $I$ el incentro, $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro. Se da que $IO = IH$. Demuestra que uno de los ángulos del triángulo $ABC$ debe ser igual a $60$ grados.

En el triángulo $ABC$, sea $I$ el incentro. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $BIC$. Demuestra que $AH$ es paralelo a $BC$ si y solo si $H$ se encuentra en el círculo con diámetro $AI$.