Sean $\mathcal O_{1}$ y $\mathcal O_{2}$ dos círculos exteriores. Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos en $\mathcal O_{1}$ y $D$ , $E$ , $F$ puntos en $\mathcal O_{1}$ tales que $AD$ y $BE$ son las tangentes exteriores comunes a estos dos círculos y $CF$ es una de las tangentes interiores a estos dos círculos, y tales que $C$ , $F$ están en el interior del cuadrilátero $ABED$ . Si $CO_{1}\cap AB=\{M\}$ y $FO_{2}\cap DE=\{N\}$ entonces pruebe que $MN$ pasa por el punto medio de $CF$ .

Sea $A_{1}A_{2}\ldots A_{2n}$ un polígono convexo y sea $P$ un punto en su interior tal que no se encuentra en ninguna de las diagonales del polígono. Pruebe que hay un lado del polígono tal que ninguna de las líneas $PA_{1}$ , $\ldots$ , $PA_{2n}$ lo intersecta en su interior.

Sea $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ una función tal que \[|f(x)-f(y)|\leq (x-y)^{2}\] para todo $x,y \in\mathbb{Q}$ . Pruebe que $f$ es constante.

Si $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\ldots$ , $a_{n}\geq 0$ son tales que \[a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}=1,\] entonces encuentre el valor máximo del producto $(1-a_{1})\cdots (1-a_{n})$ .

Sean $a$ y $n$ dos números enteros positivos tales que los factores primos (positivos) de $a$ son todos mayores que $n$. Demuestre que $n!$ divide a $(a - 1)(a^2 - 1)\cdots (a^{n-1} - 1)$.

Sean $X$ e $Y$ dos subconjuntos finitos del intervalo semiabierto $[0, 1)$ tales que $0 \in X \cap Y$ y $x + y = 1$ para ningún $x \in X$ y ningún $y \in Y$. Demuestre que el conjunto $\{x + y - \lfloor x + y \rfloor : x \in X \textrm{ y } y \in Y\}$ tiene al menos $|X| + |Y| - 1$ elementos.

Sea $n$ un número entero positivo. Si $S$ es un conjunto finito de vectores en el plano, sea $N(S)$ el número de subconjuntos de dos elementos $\{\mathbf{v}, \mathbf{v'}\}$ de $S$ tales que \[4\,(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v'}) + (|\mathbf{v}|^2 - 1)(|\mathbf{v'}|^2 - 1) < 0. \] Determine el máximo de $N(S)$ cuando $S$ recorre todos los conjuntos de $n$ - elementos de vectores en el plano.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, sea $I$ su incentro, y sean $A_1$, $B_1$ y $C_1$ los puntos de contacto de los excírculos con los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AIA_1$, $BIB_1$ y $CIC_1$ tienen un punto común diferente de $I$.

Un polinomio no constante $f$ con coeficientes integrales tiene la propiedad de que, para cada primo $p$, existe un primo $q$ y un entero positivo $m$ tal que $f(p) = q^m$. Demuestre que $f = X^n$ para algún entero positivo $n$.

Las celdas de una matriz cuadrada de $2011 \times 2011$ están etiquetadas con los enteros $1,2,\ldots, 2011^2$ , de tal manera que cada etiqueta se usa exactamente una vez. Luego identificamos los bordes izquierdo y derecho, y luego la parte superior e inferior, de la manera normal para formar un toro (la superficie de una dona). Determine el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar qué etiquetado elijamos, existen dos celdas vecinas con la diferencia de sus etiquetas al menos $M$ . (Las celdas con coordenadas $(x,y)$ y $(x',y')$ se consideran vecinas si $x=x'$ y $y-y'\equiv\pm1\pmod{2011}$ , o si $y=y'$ y $x-x'\equiv\pm1\pmod{2011}$ . )