Sean $x$ e $y$ dos números racionales y $n$ un entero positivo impar. Demuestra que, si $x^n - 2x = y^n - 2y$ , entonces $x = y$ .

Demuestra que si los números reales positivos $p$ y $q$ satisfacen $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}= 1$ , entonces\na) $\frac{1}{3} \le \frac{1}{p (p + 1)} +\frac{1}{q (q + 1)} <\frac{1}{2}$\nb) $\frac{1}{p (p - 1)} + \frac{1}{q (q - 1)} \ge 1$

Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es libre de sumas si, siempre que $x$ e $y$ son miembros (no necesariamente distintos) de $A$, su suma $x+y$ no pertenece a $A$. Determine todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb N\to\mathbb N$ tales que, para cada subconjunto $A$ de $\mathbb N$ libre de sumas, la imagen $\{f(a):a\in A\}$ también es libre de sumas. Nota: una función $f:\mathbb N\to\mathbb N$ es sobreyectiva si, para cada entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $f(m)=n$.

Sea $n\ge 3$ un entero. En un país hay $n$ aeropuertos y $n$ aerolíneas que operan vuelos de dos vías. Para cada aerolínea, hay un entero impar $m\ge 3$, y $m$ aeropuertos distintos $c_1, \dots, c_m$, donde los vuelos ofrecidos por la aerolínea son exactamente aquellos entre los siguientes pares de aeropuertos: $c_1$ y $c_2$ ; $c_2$ y $c_3$ ; $\dots$ ; $c_{m-1}$ y $c_m$ ; $c_m$ y $c_1$. Demuestre que existe una ruta cerrada que consta de un número impar de vuelos donde no hay dos vuelos operados por la misma aerolínea.

Sea $N \geq 2$ un entero, y sean $\mathbf a$ $= (a_1, \ldots, a_N)$ y $\mathbf b$ $= (b_1, \ldots b_N)$ secuencias de enteros no negativos. Para cada entero $i \not \in \{1, \ldots, N\}$, sea $a_i = a_k$ y $b_i = b_k$, donde $k \in \{1, \ldots, N\}$ es el entero tal que $i-k$ es divisible por $n$. Decimos que $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónico si cada $a_i$ es igual a la siguiente media aritmética: \[a_i = \frac{1}{2b_i+1} \sum_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}.\] Suponga que ni $\mathbf a$ ni $\mathbf b$ es una secuencia constante, y que tanto $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónico como $\mathbf b$ es $\mathbf a$ - armónico. Demuestre que al menos $N+1$ de los números $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ son cero.

Bethan está jugando un juego en una cuadrícula de $n\times n$ que consta de $n^2$ celdas. Un movimiento consiste en colocar un contador en una celda no ocupada $C$ donde las otras $2n-2$ celdas en la misma fila o columna que $C$ contienen un número par de contadores. Después de hacer $M$ movimientos Bethan se da cuenta de que no puede hacer más movimientos. Determine el valor mínimo de $M$ .

Sea $N \geq 2$ un entero, y sean $\mathbf a$ $= (a_1, \ldots, a_N)$ y $\mathbf b$ $= (b_1, \ldots b_N)$ secuencias de enteros no negativos. Para cada entero $i \not \in \{1, \ldots, N\}$, sea $a_i = a_k$ y $b_i = b_k$, donde $k \in \{1, \ldots, N\}$ es el entero tal que $i-k$ es divisible por $n$. Decimos que $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónico si cada $a_i$ es igual a la siguiente media aritmética: \[a_i = \frac{1}{2b_i+1} \sum_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}.\] Suponga que ni $\mathbf a$ ni $\mathbf b$ es una secuencia constante, y que tanto $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónico como $\mathbf b$ es $\mathbf a$ - armónico. Demuestre que al menos $N+1$ de los números $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ son cero.

Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo recto en $C$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$ a $AB$. El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sean $E$ y $F$ las reflexiones de $C$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ las reflexiones de $D$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$, $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto en común.

Sea $n > 1$ un entero dado. Un cubo de $n \times n \times n$ está compuesto por $n^3$ cubos unitarios. Cada cubo unitario está pintado con un color. Para cada caja de $n \times n \times 1$ que consta de $n^2$ cubos unitarios (en cualquiera de las tres orientaciones posibles), consideramos el conjunto de colores presentes en esa caja (cada color se enumera sólo una vez). De esta manera, obtenemos $3n$ conjuntos de colores, divididos en tres grupos según la orientación. Sucede que para cada conjunto en cualquier grupo, el mismo conjunto aparece en ambos de los otros grupos. Determine, en términos de $n$ , el número máximo posible de colores que están presentes.

Determine todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualquier entero $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, dejamos que $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ .