Dado un conjunto $S_n = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ , definimos una lista de preferencias como un subconjunto ordenado de $S_n$ . Sea $P_n$ el número de listas de preferencias de $S_n$ . Demuestre que para enteros positivos $n > m$ , $P_n - P_m$ es divisible por $n - m$ . Nota: el conjunto vacío y $S_n$ son subconjuntos de $S_n$ .

Sea $N$ un entero positivo. Hay $N$ tareas, numeradas $1, 2, 3, \ldots, N$ , para ser completadas. Cada tarea toma un minuto para completarse y las tareas deben completarse sujetas a las siguientes condiciones: Se puede realizar cualquier número de tareas al mismo tiempo. Para cualquier entero positivo $k$ , la tarea $k$ comienza inmediatamente después de que todas las tareas cuyos números son divisores de $k$ , sin incluir $k$ mismo, se completen. La tarea 1 es la primera tarea en comenzar, y comienza por sí sola. Suponga que $N = 2017$ . ¿Cuántos minutos se tarda en completar todas las tareas? ¿Cuáles tareas son las últimas en completarse?

Demuestre que para todos los números reales $x, y$ , $$(x^2 + 1)(y^2 + 1) + 4(x - 1)(y - 1) \geq 0.$$ Determine cuándo se cumple la igualdad.

En esta pregunta, redefinimos las operaciones de suma y multiplicación de la siguiente manera: $a + b$ se define como el mínimo de $a$ y $b$ , mientras que $a * b$ se define como la suma de $a$ y $b$ . Por ejemplo, $3+4 = 3$ , $3*4 = 7$ , y $$3*4^2+5*4+7 = \min(\text{3 plus 4 plus 4}, \text{5 plus 4}, 7) = \min(11, 9, 7) = 7.$$ Sea $a, b, c$ números reales. Caracterice, en términos de $a, b, c$ , cómo se ve la gráfica de $y = ax^2+bx+c$.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . $$(x+y)f(x-y) = f(x^2-y^2).$$

Para cualquier entero positivo n, sea $\varphi(n)$ la cantidad de enteros en el conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ cuyo máximo común divisor con $n$ es 1. Determine el valor máximo de $\frac{n}{\varphi(n)}$ para $n$ en el conjunto $\{2, \ldots, 1000\}$ y todos los valores de $n$ para los cuales se alcanza este máximo.

Malcolm escribe un entero positivo en un pedazo de papel. Malcolm duplica este entero y resta 1, escribiendo este segundo resultado en el mismo pedazo de papel. Luego, Malcolm duplica el segundo entero y suma 1, escribiendo este tercer entero en el papel. Si todos los números que Malcolm escribe son primos, determine todos los valores posibles para el primer entero.

Sea $u_1$, $u_2$, $u_3$, $\dots$ una secuencia de enteros que satisfacen la relación de recurrencia $u_{n + 2} = u_{n + 1}^2 - u_n$. Supón que $u_1 = 39$ y $u_2 = 45$. Demuestra que 1986 divide a infinitos términos de la secuencia.

Para todos los enteros positivos $n$ y $k$, define $F(n,k) = \sum_{r = 1}^n r^{2k - 1}$. Demuestra que $F(n,1)$ divide a $F(n,k)$.

Una cuerda $ST$ de longitud constante se desliza alrededor de un semicírculo con diámetro $AB$. $M$ es el punto medio de $ST$ y $P$ es el pie de la perpendicular desde $S$ a $AB$. Demuestra que $\angle SPM$ es constante para todas las posiciones de $ST$.