Xenia y Sergey juegan el siguiente juego. Xenia piensa en un entero positivo $N$ que no excede $5000$. Luego fija $20$ enteros positivos distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ tales que, para cada $k = 1,2,\cdots,20$, los números $N$ y $a_k$ son congruentes módulo $k$. En un movimiento, Sergey le dice a Xenia un conjunto $S$ de enteros positivos que no exceden $20$, y ella le devuelve el conjunto $\{a_k : k \in S\}$ sin especificar qué número corresponde a qué índice. ¿Cuántos movimientos necesita Sergey para determinar con seguridad el número en el que pensó Xenia?