Encuentre todos los pares $(x,y)$ de números reales tales que \[16^{x^{2}+y} + 16^{x+y^{2}} = 1\]

Sea $ABC$ un triángulo y sean $BB_1,CC_1$ respectivamente las bisectrices de $\angle{B},\angle{C}$ con $B_1$ en $AC$ y $C_1$ en $AB$ , Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ sobre $BB_1,CC_1$ respectivamente. Suponga que $D$ es el punto en el que la circunferencia inscrita de $ABC$ toca $AB$ . Demuestre que $AD=EF$

Considere un polígono convexo de $20$ lados $K$ , con vértices $A_1, A_2,...,A_{20}$ en ese orden. Encuentre el número de formas en que se pueden elegir tres lados de $K$ de modo que cada par entre ellos tenga al menos dos lados de $K$ entre ellos. (Por ejemplo, $(A_1A_2, A_4A_5, A_{11}A_{12})$ es una terna admisible mientras que $(A_1A_2, A_4A_5, A_{19}A_{20})$ no lo es.

Se elige un número natural $n$ estrictamente entre dos cuadrados perfectos consecutivos. El menor de estos dos cuadrados se obtiene restando $k$ de $n$ y el mayor sumando $l$ a $n.$ Demuestre que $n-kl$ es un cuadrado perfecto.

Sea $(a_1,a_2,a_3,...,a_{2011})$ una permutación de los números $1,2,3,...,2011$ . Demuestre que existen dos números $j,k$ tales que $1\leq{j}<k\leq2011$ y $|a_j-j|=|a_k-k|$

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $D, E, F$ puntos en los segmentos $BC, CA, AB$ respectivamente tales que $AD, BE, CF$ concurren en el punto $K$ . Suponga que $\frac{BD}{DC} = \frac {BF}{FA}$ y $\angle ADB = \angle AFC$ . Demuestre que $\angle ABE = \angle CAD$ .

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R} - [0,1] \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(x) + f \left( \dfrac{1}{1-x} \right) = \dfrac{2(1-2x)}{x(1-x)} . \]

Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ un polígono regular de $n$ lados. Si $\frac{1}{A_1 A_2} = \frac{1}{A_1 A_3} + \frac{1}{A_1A_4}$ , encuentra $n$ .

Determina todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n\geq 3$ un entero. Encuentra el número de formas en que uno puede colocar los números $1, 2, 3, \ldots, n^2$ en los $n^2$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $n \times n$, uno en cada uno, tal que los números en cada fila y en cada columna estén en progresión aritmética.