Sea $a_1, a_2, . . ., a_n$ una secuencia finita de $0$ y $1$ . Bajo dos términos consecutivos cualesquiera de esta secuencia se escribe $0$ si los dígitos son iguales y $1$ si se escriben de forma distinta. De esta forma se obtiene una nueva secuencia de longitud $n -1$ . Al repetir este procedimiento $n - 1$ veces se obtiene una tabla triangular de $0$ y $1$ . Encuentre el número máximo posible de unos que pueden aparecer en esta tabla

Sean $S_1, S_2,S_3$ esferas de radios $a, b, c$ respectivamente cuyos centros se encuentran en una línea $l$ . La esfera $S_2$ es externamente tangente a $S_1$ y $S_3$ , mientras que $S_1$ y $S_3$ no tienen puntos en común. Una línea recta t toca cada una de las esferas, Encuentre el seno del ángulo entre $l$ y $t$

Primero que nada, estoy bastante seguro de que $a_{n+1}$ se supone que es $\frac{a_n}2$ cuando $a_n$ es par, no $n$ (y $a_n+7$ cuando $a_n$ es impar). Segundo, creo que $a_1=1993^{1994^{1995}}$ , es decir, el número superior es $1995$ , no $1994$ . Cada número $>7$ se convierte en uno $<7$ en como máximo $2$ pasos, por lo que el mínimo es $\le 7$ . Dado que nuestro término inicial no es divisible por $7$ y está claro que las reglas no pueden producir términos divisibles por $7$ cuando no los hay, significa que el mínimo es $\le 6$ . $6,5,3$ van a $3$ , mientras que $4,2,1$ van a $1$ , por lo que hay dos posibilidades: el mínimo es $3$ o $1$ . $2$ es un residuo cuadrático módulo $7$ , por lo que todos los términos de la secuencia son residuos cuadráticos de $7$ , o ninguno lo es. Dado que el término inicial es $4\pmod 7$ , significa que todos los términos son residuos cuadráticos de $7$ , por lo que el mínimo no puede ser $3$ , lo que significa que debe ser $1$ .

Inscriba un triángulo equilátero de lado mínimo en un triángulo acutángulo dado $ABC$ (un vértice en cada lado).

Pruebe que la secuencia $a_n = 3^n- 2^n$ no contiene tres números en progresión geométrica.

Sea $n$ un entero positivo impar. Pruebe que $((n-1)^n+1)^2$ divide a $n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$.

Sea $X_n=\{1,2,...,n\}$ , donde $n \geq 3$ . Definimos la medida $m(X)$ de $X\subset X_n$ como la suma de sus elementos.(Si $ |X|=0$ , entonces $m(X)=0$ ) . Un conjunto $X \subset X_n$ se dice que es par(resp. impar) si $m(X)$ es par(resp. impar). (a)Muestre que el número de conjuntos pares es igual al número de conjuntos impares. (b)Muestre que la suma de las medidas de los conjuntos pares es igual a la suma de las medidas de los conjuntos impares. (c)Calcule la suma de las medidas de los conjuntos impares.

Sea $K$ un campo finito con $q$ elementos, $q \ge 3.$ Denotamos por $M$ el conjunto de polinomios en $K[X]$ de grado $q-2$ cuyos coeficientes son no nulos y distintos por pares. Encuentra el número de polinomios en $M$ que tienen $q-2$ raíces distintas en $K.$

Sea un número real $a,$ y una función no decreciente $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}.$ Prueba que $f$ es continua en $a$ si y sólo si existe una secuencia $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ de números reales positivos tal que $$ \int_a^{a+a_n} f(x)dx+\int_a^{a-a_n} f(x)dx\le\frac{a_n}{n} , $$ para todos los números naturales $n.$

Sea $A$ un anillo y sea $D$ el conjunto de sus elementos no invertibles. Si $a^2=0$ para cualquier $a \in D,$ prueba que: a) $axa=0$ para todo $a \in D$ y $x \in A$ ; b) si $D$ es un conjunto finito con al menos dos elementos, entonces existe $a \in D,$ $a \neq 0,$ tal que $ab=ba=0,$ para todo $b \in D.$