Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y centro inscrito $I$. Si $AI=3$ y la distancia de $I$ a $BC$ es $2$, ¿cuál es el cuadrado de la longitud de $BC$?

Sita y Geeta son dos hermanas. Si la edad de Sita se escribe después de la edad de Geeta, se obtiene un cuadrado perfecto (número) de cuatro dígitos. Si el mismo ejercicio se repite después de 13 años, se obtendrá otro cuadrado perfecto (número) de cuatro dígitos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de Sita y Geeta?

Si $ABCD$ es un rectángulo y $P$ es un punto dentro de él tal que $AP=33, BP=16, DP=63$. Halla $CP$.

Si $a,b,c$ son números reales y $(a+b-5)^2+(b+2c+3)^2+(c+3a-10)^2=0$ halla el entero más cercano a $a^3+b^3+c^3$.

Encuentre la constante real más grande $\lambda$ tal que \[\frac{\lambda abc}{a+b+c}\leq (a+b)^2+(a+b+4c)^2\] Para todos los números reales positivos $a,b,c.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Si $AC,BD,EG,FH$ concurren en un punto $O,$ demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo.

Encuentre el número de números de 4 dígitos con dígitos distintos elegidos del conjunto $\{0,1,2,3,4,5\}$ en los que no hay dos dígitos adyacentes que sean pares.

Sean $a,b,c>0.$ Si $\frac 1a,\frac 1b,\frac 1c$ están en progresión aritmética, y si $a^2+b^2,b^2+c^2,c^2+a^2$ están en progresión geométrica, demuestre que $a=b=c.$

Sea $n$ un entero positivo tal que $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados perfectos. Demuestre que $5n+3$ es un número compuesto.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ y ortocentro $H.$ Si $M$ es el punto medio de $BC,$ entonces demuestre que $AO$ y $HM$ se intersecan en la circunferencia circunscrita de $ABC.$