Sea $f(x)$ un polinomio en $x$ con coeficientes enteros y suponga que para cinco enteros distintos $a_1, \ldots, a_5$ uno tiene $f(a_1) = f(a_2) = \ldots = f(a_5) = 2$ . Demuestra que no existe un entero $b$ tal que $f(b) = 9$ .

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en dos puntos distintos $P, Q$ en un plano. Sea una línea que pasa por $P$ y que se encuentra con los círculos $C_1$ y $C_2$ en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $Y$ el punto medio de $AB$ y sea $QY$ que se encuentra con los círculos $C_1$ y $C_2$ en $X$ y $Z$ respectivamente. Demuestra que $Y$ es también el punto medio de $XZ$ .

Encuentra el número de permutaciones $( p_1, p_2, p_3 , p_4 , p_5 , p_6)$ de $1, 2 ,3,4,5,6$ tal que para cualquier $k, 1 \leq k \leq 5$ , $(p_1, \ldots, p_k)$ no forma una permutación de $1 , 2, \ldots, k$ .

Encuentra el residuo cuando $19^{92}$ se divide por 92.

Si $x , y, z \in \mathbb{R}$ tal que $x+y +z =4$ y $x^2 + y^2 +z^2 = 6$ , entonces demuestra que cada uno de $x, y, z$ se encuentra en el intervalo cerrado $\left[ \dfrac{2}{3} , 2 \right]$ . ¿Puede $x$ alcanzar el valor extremo $\dfrac{2}{3}$ o $2$ ?

En un triángulo $ABC$ , $\angle A = 2 \cdot \angle B$ . Demuestra que $a^2 = b (b+c)$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $s(n)$ denote el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$ . Determina el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$

El triángulo $ABC$ tiene un incentro $I$ y su incírculo toca el lado $BC$ en $T$ . La línea que pasa por $T$ paralela a $IA$ se encuentra con el incírculo nuevamente en $S$ y la tangente al incírculo en $S$ se encuentra con $AB , AC$ en los puntos $C' , B'$ respectivamente. Demuestra que el triángulo $AB'C'$ es similar al triángulo $ABC$ .

Hay $10$ objetos de peso total $20$ , cada uno de los pesos siendo un entero positivo. Dado que ninguno de los pesos excede $10$ , demuestra que los diez objetos pueden ser divididos en dos grupos que se equilibren cuando se colocan en 2 bandejas de una balanza.

Resuelve el siguiente sistema para reales $x,y,z$ \n\[ \{ \begin{array}{ccc}\nx+ y -z & =& 4 \\\nx^2 - y^2 + z^2 & = & -4 \\\nxyz & =& 6. \n\end{array} \]