4 Encuentra todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \] Propuesto por Gabriel Chicas Reyes, El Salvador

Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son atendidas por diez aerolíneas internacionales $A_1,A_2, \dots , A_{10}$. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos de estas localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje redondo con un número impar de aterrizajes.

10 Encuentra todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\] Amir

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuja triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia afuera y los otros dos hacia adentro. Demuestra que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$? Amir

2 La tabla triangular de números dada es la siguiente: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/0/123b7511850047f3cc51494f107703f2757085.png Entre ellos, los números de la primera fila son $1, 2, 3, ..., 98, 99, 100$ . A partir de la segunda fila, cada número es igual a la suma de los números izquierdo y derecho de la fila superior. Halle el valor de $M$ .

3 Alí Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana sobre el piso de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Si las dos habitaciones tienen dimensiones de 38 pies por 55 pies y 50 pies por 55 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la alfombra?

4 Alí Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana sobre el piso de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Él sabe que los lados de la alfombra son números enteros de pies y que sus dos almacenes tienen la misma longitud (desconocida), pero anchos de 38 pies y 50 pies, respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra?

5 Las sucesiones $ a_0, a_1, \ldots$ y $ b_0, b_1, \ldots$ están definidas para $ n = 0, 1, 2, \ldots$ por las igualdades \[ a_0 = \frac {\sqrt {2}}{2}, \quad a_{n + 1} = \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \sqrt {1 - \sqrt {1 - a^2_n}} \] y \[ b_0 = 1, \quad b_{n + 1} = \frac {\sqrt {1 + b^2_n} - 1}{b_n} \] Demuestre las desigualdades para todo $ n = 0, 1, 2, \ldots$ \[ 2^{n + 2} a_n < \pi < 2^{n + 2} b_n. \]

6 Los círculos $ c_1$ y $ c_2$ son tangentes en el punto $ A.$ Una recta $ l$ que pasa por $ A$ interseca a $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ C_1$ y $ C_2$ respectivamente. Un círculo $ c,$ que contiene a $ C_1$ y $ C_2,$ corta a $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ B_1$ y $ B_2$ respectivamente. Sea $ \omega$ el círculo circunscrito al triángulo $ AB_1B_2.$ El círculo $ k$ tangente a $ \omega$ en el punto $ A$ corta a $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ D_1$ y $ D_2$ respectivamente. Demuestre que (a) los puntos $ C_1,C_2,D_1,D_2$ son concíclicos o colineales, (b) los puntos $ B_1,B_2,D_1,D_2$ son concíclicos si y solo si $ AC_1$ y $ AC_2$ son diámetros de $ c_1$ y $ c_2.$

3 En $\triangle PQR$, $PR=15$, $QR=20$ y $PQ=25$. Los puntos $A$ y $B$ están sobre $\overline{PQ}$, los puntos $C$ y $D$ están sobre $\overline{QR}$, y los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{PR}$, con $PA=QB=QC=RD=RE=PF=5$. Encuentra el área del hexágono $ABCDEF$.