Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cruzan en $P,$ las diagonales $AE{}$ y $DF$ se cruzan en $Q,$ y la línea $PQ$ cruza los lados $BC$ y $EF$ en $X$ e $Y,{}$ respectivamente. Demuestre que la longitud del segmento $XY$ no excede la suma de las longitudes de una de las diagonales que pasa por $P{}$ y una de las diagonales que pasa por $Q{}$ .

Fije un entero positivo $n.{}$ Considere un conjunto de $n{}$ puntos $S{}$ en el plano. Un conjunto elegible es un conjunto no vacío de la forma $S\cap D,{}$ donde $D$ es un disco cerrado en el plano. En términos de $n,$ determine el número mínimo posible de subconjuntos elegibles que $S{}$ puede contener.

Dado un entero positivo $a,$ demuestre que $n!$ es divisible por $n^2 + n + a$ para infinitos enteros positivos $n.{}$

Sea $k\ge2$ un entero. Encuentre el entero más pequeño $n \ge k+1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos puede escribirse como una suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Supongamos que los puntos $Q, A, B, P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$ , y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AD$ , respectivamente. Demuestre que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$ , la tangente del círculo $ANQ$ en el punto $A$ , y la tangente al círculo $BMP$ en el punto $B$ .

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todo entero positivo $n$ . Demuestre que $a_{2022}\leq 1$ .

Considere una matriz de $4\times 4$ de enteros positivos distintos por parejas tal que en cada columna, respectivamente fila, uno de los números es igual a la suma de los otros tres. Determine el menor valor posible del mayor número que puede contener dicha matriz.

En el triángulo acutángulo $ABC$ , el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$ , y $P$ es un punto en el segmento $AF$ . Las líneas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ se encuentran con $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Los puntos $X \ne A$ e $Y \ne A$ se encuentran en los círculos $ABD$ y $ACE$ , respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$ . Demuestre que $B, C, X,$ e $Y$ son concíclicos.

Una línea diagonal de un polígono (no necesariamente convexo) con al menos cuatro lados es cualquier línea que pasa por dos vértices no adyacentes de ese polígono. Determine todos los polígonos con al menos cuatro lados que satisfacen la siguiente condición: El reflejo de cada vértice en cada línea diagonal se encuentra dentro o en el límite del polígono.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos, donde $m < 2^n.$ Determine el menor número posible de potencias de dos, no necesariamente distintas por parejas, que suman $m\cdot(2^n- 1).$