Para un número compuesto $n$, sea $d_n$ su mayor divisor propio. Demostrar que hay infinitos $n$ para los cuales $d_n +d_{n+1}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $CA>BC>AB$. Sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Sean $D$ y $E$ respectivamente los puntos medios del arco $AB$ que no contiene a $C$ y del arco $AC$ que no contiene a $B$. Sean $D'$ y $E'$ respectivamente las reflexiones de $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$. Demostrar que $O, H, D', E'$ están en una circunferencia si y sólo si $A, D', E'$ son colineales.

Los números $1, 2, 3$ , $\ldots$ , $n^2$ están dispuestos en un arreglo de $n\times n$, de modo que los números en cada fila aumentan de izquierda a derecha, y los números en cada columna aumentan de arriba a abajo. Sea $a_{ij}$ el número en la posición $i, j$ . Sea $b_j$ el número de valores posibles para $a_{jj}$ . Muestre que \[ b_1 + b_2 + \cdots + b_n = \frac{ n(n^2-3n+5) }{3} . \]

¿Existen enteros positivos distintos $a$ , $b$ , $c$ tales que $a$ , $b$ , $c$ , $-a+b+c$ , $a-b+c$ , $a+b-c$ , $a+b+c$ forman una progresión aritmética (en algún orden)?

¿Es cierto que existen 100 líneas en el plano, no tres concurrentes, de modo que se intersecan en exactamente 2002 puntos?

Si $x$ , $y$ son reales positivos tales que $x + y = 2$ muestre que $x^3y^3(x^3+ y^3) \leq 2$ .

Encuentre el valor positivo más pequeño tomado por $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ para enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ . Encuentre todos los $a$ , $b$ , $c$ que dan el valor más pequeño.

Para un hexágono convexo $ ABCDEF$ en el que cada par de lados opuestos es desigual, considere las siguientes afirmaciones.\n( $ a_1$ ) $ AB$ es paralelo a $ DE$ .\n( $ a_2$ ) $ AE = BD$ .\n( $ b_1$ ) $ BC$ es paralelo a $ EF$ .\n( $ b_2$ ) $ BF = CE$ .\n( $ c_1$ ) $ CD$ es paralelo a $ FA$ .\n( $ c_2$ ) $ CA = DF$ .\n$ (a)$ Demuestre que si las seis de estas afirmaciones son verdaderas, entonces el hexágono es cíclico.\n$ (b)$ Demuestre que, de hecho, cinco de las seis afirmaciones son suficientes.

Encuentra el número de polinomios cuadráticos $ax^2 + bx +c$ que satisfacen lo siguiente: (a) $a,b,c$ son distintos; (b) $a,b,c \in \{ 1,2,3,\cdots 1999 \}$; (c) $x+1$ divide a $ax^2 + bx+c$.

Encuentra todas las soluciones en enteros $m,n$ de la ecuación \[ (m-n)^2 = \frac{4mn}{ m+n-1}. \]