Demuestra que para cualquier número real $x$ : \[ x^2 \sin{x} + x \cos{x} + x^2 + \frac{1}{2} > 0 . \]

Sea $A_1A_2A_3 \ldots A_{21}$ un polígono regular de 21 lados inscrito en un círculo con centro $O$. ¿Cuántos triángulos $A_iA_jA_k$, $1 \leq i < j < k \leq 21$, contienen el punto central $O$ en su interior?

Demuestra que para cualquier triángulo $ABC$, la siguiente desigualdad es verdadera: \[ a^2 + b^2 +c^2 > \sqrt{3} max \{ |a^2 - b^2|, |b^2 -c^2|, |c^2 -a^2| \} . \]

Demuestra que la ecuación cuadrática $x^2 + 7x - 14 (q^2 +1) =0$, donde $q$ es un entero, no tiene raíz entera.

Prueba que entre cualesquiera $18$ números de tres dígitos consecutivos hay al menos un número que es divisible por la suma de sus dígitos.

Llama a un entero positivo $n$ bueno si hay $n$ enteros, positivos o negativos, y no necesariamente distintos, tales que su suma y producto son ambos iguales a $n$. Demuestra que los enteros de la forma $4k+1$ y $4l$ son buenos.

En el triángulo $ABC$, $K$ y $L$ son puntos en el lado $BC$ (con $K$ más cerca de $B$ que $L$) tal que $BC \cdot KL = BK \cdot CL$ y $AL$ biseca $\angle KAC$. Demuestra que $AL \perp AB$.

Sea $d(m)$ denota el número de divisores enteros positivos de un entero positivo $m$. Si $r$ es el número de enteros $n \leqslant 2023$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n} d(i)$ es impar. , encuentra la suma de los dígitos de $r.$

Un entero positivo $n>1$ se llama hermoso si $n$ se puede escribir de una y solo una forma como $n=a_1+a_2+\cdots+a_k=a_1 \cdot a_2 \cdots a_k$ para algunos enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_k$, donde $k>1$ y $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k$. (Por ejemplo, 6 es hermoso ya que $6=3 \cdot 2 \cdot 1=3+2+1$, y esto es único. Pero 8 no es hermoso ya que $8=4+2+1+1=4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1$ así como $8=2+2+2+1+1=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1$, por lo que se pierde la unicidad.) Encuentra el número hermoso más grande menor que 100.

En cada lado de un triángulo equilátero con lado de longitud $n$ unidades, donde $n$ es un entero, $1 \leq n \leq 100$, considera $n-1$ puntos que dividen el lado en $n$ segmentos iguales. A través de estos puntos, dibuja líneas paralelas a los lados del triángulo, obteniendo una red de triángulos equiláteros de lado de longitud una unidad. En cada uno de los vértices de estos pequeños triángulos, coloca una moneda boca arriba. Se dice que dos monedas son adyacentes si la distancia entre ellas es 1 unidad. Un movimiento consiste en voltear tres monedas mutuamente adyacentes. Encuentra el número de valores de $n$ para los cuales es posible voltear todas las monedas boca abajo después de un número finito de movimientos.