Si $a, b, c$ son números reales en el intervalo abierto $ (0,1)$ entonces demuestre la desigualdad $$\sqrt{abc}+\sqrt{\left( 1-a\right) \left( 1-b\right) \left( 1-c\right) }<1$$

Un triángulo equilátero dado de lado $10$ se divide en $100$ triángulos equiláteros de lado $1$ trazando líneas paralelas a los lados del triángulo original. Encuentre el número de triángulos equiláteros que tienen vértices en los puntos de intersección de las líneas paralelas cuyos lados se encuentran en las líneas paralelas.

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se encuentran en $O$ . Sea $m$ la medida del ángulo agudo formado por estas diagonales. Un ángulo variable $xOy$ de medida $m$ interseca el cuadrilátero por un cuadrilátero convexo de área constante. Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado.

Sea $n$ un entero positivo par y sean $a, b$ dos enteros positivos relativamente primos. Encuentre $a$ y $b$ tales que $a + b$ sea un divisor de $a^n + b^n$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado unitario. Para cualquier punto interior $M,N$ tal que la línea $MN$ no contenga un vértice del cuadrado, denotamos por $s(M,N)$ el área mínima de los triángulos que tienen sus vértices en el conjunto de puntos $\{ A,B,C,D,M,N\}$ . Encuentre el menor número $k$ tal que $s(M,N)\le k$ , para todos los puntos $M,N$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles tal que $AB = AC$ y $\angle A = 20^o$ . Sea $M$ el pie de la altura desde $C$ y sea $N$ un punto en el lado $AC$ tal que $CN =\frac12 BC$ . Determine la medida del ángulo $AMN$ .

Encuentre todos los enteros positivos $a, b,c,d$ tales que $a + b + c + d - 3 = ab + cd$ .

Un cuadrado de lado 1 se descompone en 9 cuadrados iguales de lados 1/3 y el del centro se pinta de negro. Los ocho cuadrados restantes se dividen análogamente en nueve cuadrados cada uno y el cuadrado del centro se pinta de negro. Demostrar que después de 1000 pasos el área total de la región negra supera 0.999

Sea $ABCD$ un paralelogramo de centro $O$ . Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de $BO$ y $CD$ , respectivamente. Demostrar que si los triángulos $ABC$ y $AMN$ son similares, entonces $ABCD$ es un cuadrado.

Consideremos un rectángulo de $1 \times n$ y algunas baldosas de tamaño $1 \times 1$ de cuatro colores diferentes. El rectángulo está embaldosado de tal manera que no hay dos baldosas cuadradas vecinas que tengan el mismo color. a) Encuentre el número de embaldosados simétricos distintos. b) Encuentre el número de embaldosados tales que cualquier baldosa cuadrada consecutiva tenga colores distintos.