Los números $x, y, z, t, a$ y $b$ son enteros positivos, tales que $xt-yz = 1$ y $$\frac{x}{y} \ge \frac{a}{b} \ge \frac{z}{t} .$$ Demuestra que $$ab \le (x + z) (y +t)$$

Encuentra todos los enteros positivos $r$ con la propiedad de que existen números primos positivos $p$ y $q$ tales que $$p^2 + pq + q^2 = r^2 .$$

Sean $p, q$ dos primos distintos. Demuestre que existen enteros positivos $a, b$ tales que la media aritmética de todos los divisores positivos del número $n = p^aq^b$ es un entero.

Sea $ABC$ un triángulo y $a = BC, b = CA$ y $c = AB$ las longitudes de sus lados. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en el mismo semiplano determinado por $BC$ que $A$ . Suponga que $DB = c, CE = b$ y que el área de $DECB$ es máxima. Sea $F$ el punto medio de $DE$ y sea $FB = x$ . Demuestre que $FC = x$ y $4x^3 = (a^2+b^2 + c^2)x + abc$ .

Se nos dan $n$ círculos que tienen el mismo centro. Dos líneas $D_1,D_2$ son concurrentes en $P$ , un punto dentro de todos los círculos. Los rayos determinados por $P$ en la línea $D_i$ se encuentran con los círculos en los puntos $A_1,A_2,...,A_n$ y $A'_1, A'_2,..., A'_n$ respectivamente y los rayos en $D_2$ se encuentran con los círculos en los puntos $B_1,B_2, ... ,B_n$ y $B'_2, B'_2 ..., B'_n$ (los puntos con los mismos índices se encuentran en el mismo círculo). Demuestre que si los arcos $A_1B_1$ y $A_2B_2$ son iguales entonces los arcos $A_iB_i$ y $A'_iB'_i$ son iguales, para todo $i = 1,2,... n$ .

Sean $m,n > 1$ números enteros. Resolver en enteros positivos $x^n+y^n = 2^m$ .

Se dan cinco puntos en el plano que cada uno de los $10$ triángulos que definen tiene un área mayor que $2$ . Demuestre que existe un triángulo de área mayor que $3$ .

Sean $C_1(O_1)$ y $ C_2(O_2)$ dos círculos tales que $C_1$ pasa por $O_2$ . El punto $M$ está en $C_1$ tal que $M \notin O_1O_2$ . Las tangentes desde $M$ en $O_2$ se encuentran de nuevo con $C_1$ en $A$ y $B$ . Demostrar que las tangentes desde $A$ y $B$ en $C_2$ - distintos de $MA$ y $MB$ - se encuentran en un punto ubicado en $C_1$ .

Los últimos cuatro dígitos de un cuadrado perfecto son iguales. Demuestre que todos ellos son ceros.

Sea $a$ un entero. Demostrar que para cualquier número real $x, x^3 < 3$ , ambos números $\sqrt{3 -x^2}$ y $\sqrt{a - x^3}$ no pueden ser racionales.