En una calle de sentido único, una secuencia interminable de automóviles de ancho $a$, longitud $b$ pasa con velocidad $v$. Los coches están separados por la distancia $c$. Un peatón cruza la calle perpendicularmente con velocidad $w$, sin prestar atención a los coches. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peatón cruce la calle ileso? (b) ¿Puede mejorar esta probabilidad cruzando la calle en una dirección distinta a la perpendicular?

Si es posible, construye un triángulo equilátero cuyos tres vértices están en tres círculos dados.

Sean $x, y$ y $z$ números reales que satisfacen $x + y + z = xyz.$ Demuestra que \[x(1 - y^2)(1 - z^2) + y(1 -z^2)(1 - x^2) + z(1 - x^2)(1 - y^2) = 4xyz.\]

Una función f tiene la siguiente propiedad: Si $k > 1, j > 1$ y $\gcd(k, j) = m$, entonces $f(kj) = f(m) (f(\frac km) + f(\frac jm))$. ¿Qué valores pueden tomar $f(1984)$ y $f(1985)$?

Se nos da un triángulo $ABC$ y tres rectángulos $R_1,R_2,R_3$ con lados paralelos a dos direcciones perpendiculares fijas y tales que su unión cubre los lados $AB,BC$ y $CA$; es decir, cada punto en el perímetro de $ABC$ está contenido en o sobre al menos uno de los rectángulos. Demuestra que todos los puntos dentro del triángulo también están cubiertos por la unión de $R_1,R_2,R_3.$

Cada uno de los números en el conjunto $N = \{1, 2, 3, \cdots, n - 1\}$, donde $n \geq 3$, está coloreado con uno de dos colores, digamos rojo o negro, de modo que: (i) $i$ y $n - i$ siempre reciben el mismo color, y (ii) para algún $j \in N$, relativamente primo con $n$, $i$ y $|j - i|$ reciben el mismo color para todo $i \in N, i \neq j.$ Demuestra que todos los números en $N$ deben recibir el mismo color.

Los números reales positivos $a, b$ son tales que $a^3 + b^3 = 2$. Demuestra que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2(a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)$.

Hay $2n$ personas ($n \ge 2$) sentadas alrededor de la mesa redonda, y cada persona llega a conocer a sus vecinos y exactamente enfrente de él se sienta una persona que no conoce. Demuestra que las personas pueden reorganizarse de tal manera que cada uno conozca a uno de sus dos vecinos.

Una línea que pasa por el centro $M$ del triángulo equilátero $ABC$ interseca los lados $BC$ y $CA$, respectivamente, en los puntos $D$ y $E$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEM$ y $BDM$ se intersecan, además del punto $M$, también en el punto $P$. Demuestra que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEP$ se encuentra en la bisectriz perpendicular del segmento $AB$.

Calcula todos los números reales $r$ con las siguientes propiedades: Si los números reales $a, b, c$ satisfacen la desigualdad $| ax^2 + bx + c | \le 1$ para cada $x \in [ - 1, 1]$, entonces también satisfacen la desigualdad $| cx^2 + bx + a | \le r$ para cada $x \in [- 1, 1]$.