Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $M$ es el punto medio del segmento $AB$ y $N$ es el punto medio del segmento $BC$. Sea $P$ el punto fuera de $ABC$ tal que el triángulo $ACP$ es isósceles y recto en $P$. $PM$ y $AN$ se cortan en $I$. Pruebe que $CI$ es la bisectriz del ángulo $MCA$.

En un círculo unitario donde $O$ es su circuncentro, sean $A$ y $B$ puntos en el círculo con $\angle BOA = 90$. En el arco $AB$ (arco menor) tenemos los puntos $P$ y $Q$ tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sean $X$ y $Y$ los puntos de intersección de la línea $PQ$ con $OA$ y $OB$ respectivamente. Encuentre el valor de $PX^2 + PY^2$

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $N$ es un punto en el lado $AC$ tal que $\vec{AC} = 7\vec{AN}$, $M$ es un punto en el lado $AB$ tal que $MN$ es paralelo a $BC$ y $P$ es un punto en el lado $BC$ tal que $MP$ es paralelo a $AC$. Encuentre la razón de áreas $\frac{ (MNP)}{(ABC)}$

¿Cuáles son las posibles áreas de un hexágono con todos los ángulos iguales y lados $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$, en algún orden?

En un cuadrado $ABCD$ de lado $k$, sean $P$ y $Q$ en $BC$ y $DC$ respectivamente, donde $PC = 3PB$ y $QD = 2QC$. Sea $M$ el punto de intersección de las líneas $AQ$ y $PD$, determine el área de $QMD$ en función de $k$.

Sea $ABCD$ un cuadrado y sea el punto $F$ cualquier punto del lado $BC$. Sea la línea perpendicular a $DF$, que pasa por $B$, interseca la línea $DC$ en $Q$. ¿Cuál es el valor de $\angle FQC$?

Sea $ABCD$ un rectángulo. Una línea $r$ se mueve paralela a $AB$ e interseca la diagonal $AC$, formando dos triángulos opuestos al vértice, dentro del rectángulo. Pruebe que la suma de las áreas de estos triángulos es mínima cuando $r$ pasa por el punto medio del segmento $AD$.

Consideremos una pirámide cuya base es un triángulo equilátero $BCD$ y cuyas otras caras son triángulos isósceles, rectos en el vértice común $A$. Una hormiga sale del vértice $B$, llega a un punto $P$ del lado $CD$, desde allí va a un punto $Q$ del lado $AC$ y regresa al punto $B$. Si el camino que hizo es mínimo, ¿cuánto mide el ángulo $PQA$?

Sea $\nu$ un número positivo irracional, y sea $m$ un entero positivo. Un par $(a,b)$ de enteros positivos se llama bueno si \[a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m.\] Un par bueno $(a,b)$ se llama excelente si ninguno de los pares $(a-b,b)$ y $(a,b-a)$ es bueno. Demuestre que el número de pares excelentes es igual a la suma de los divisores positivos de $m$.

Determine todas las funciones $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} $ que satisfacen \[ f \left( \frac{f(x)+a} {b}\right) = f \left( \frac{x+a}{b} \right) \] para todo $x \in \mathbb{Q}$ , $a \in \mathbb{Z}$ , y $b \in \mathbb{Z}_{>0}$ . (Aquí, $\mathbb{Z}_{>0}$ denota el conjunto de enteros positivos.)