Sea $A$ un conjunto de $16$ enteros positivos con la propiedad de que el producto de dos miembros distintos cualesquiera de $A$ no excederá 1994. Demuestra que hay números $a$ y $b$ en el conjunto $A$ tales que el mcd de $a$ y $b$ es mayor que 1.

Resuelve el sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ reales: \begin{eqnarray*} 5x \left( 1 + \frac{1}{x^2 + y^2}\right) &=& 12 \\ 5y \left( 1 - \frac{1}{x^2+y^2} \right) &=& 4 . \end{eqnarray*}

Encuentra todos los números de 6 dígitos $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$ formados usando los dígitos $1,2,3,4,5,6$ una vez cada uno, de tal manera que el número $a_1a_2a_2\ldots a_k$ es divisible por $k$ para $1 \leq k \leq 6$.

En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita toca los lados $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ respectivamente. Si el radio de la circunferencia inscrita es de $4$ unidades y si $BD, CE, AF$ son enteros consecutivos, encuentra los lados del triángulo $ABC$.

Una hoja es arrancada de una novela de bolsillo. La suma de los números de las páginas restantes es $15000$. ¿Cuáles son los números de página en la hoja arrancada?

Demuestre que cualquier triángulo que tenga dos bisectrices de ángulos internos iguales (cada una medida desde un vértice hasta el lado opuesto) es isósceles.

Tres círculos congruentes tienen un punto común $ O$ y se encuentran dentro de un triángulo dado. Cada círculo toca un par de lados del triángulo. Demuestre que el incentro y el circuncentro del triángulo y el punto común $ O$ son colineales.

Construya el $ \triangle ABC$ , dado $ h_a$ , $ h_b$ (las altitudes desde $ A$ y $ B$ ) y $ m_a$ , la mediana desde el vértice $ A$ .

Demuestre que si los coeficientes de la ecuación cuadrática $ ax^2+bx+c=0$ son enteros impares, entonces las raíces de la ecuación no pueden ser números racionales.

Encuentre una secuencia finita de 16 números tal que: (a) se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. (b) la suma de cualesquiera 7 términos consecutivos es $ -1$ , (c) la suma de cualesquiera 11 términos consecutivos es $ +1$ .