Determine todos los pares integrales no negativos $ (x, y)$ para los cuales \[ (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.\]

Dada la ecuación \[ x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0\] que tiene cuatro raíces reales y positivas, demuestre que (a) $ pr - 16s \geq 0$ (b) $ q^2 - 36s \geq 0$ con igualdad en cada caso si y sólo si las cuatro raíces son iguales.

Demuestre que de un conjunto de $11$ enteros cuadrados se pueden seleccionar seis números $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ tales que $a^2+b^2+c^2 \equiv d^2+e^2+f^2\pmod{12}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersecan en $P$. Sean $PE, PF, PG$ y $PH$ las alturas desde $P$ sobre los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente. Demuestre que $ABCD$ tiene un incírculo si y sólo si $\frac{1}{PE}+\frac{1}{PG}=\frac{1}{PF}+\frac{1}{PH}.$

Hay cuatro jugadores de baloncesto $A,B,C,D$. Inicialmente la pelota está con $A$. La pelota siempre se pasa de una persona a otra diferente. ¿De cuántas maneras puede la pelota volver a $A$ después de $\textbf{siete}$ movimientos? (por ejemplo $A\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$ , o $A\rightarrow D\rightarrow A\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow A)$ .

Para cualquier número natural $n > 1$, escriba la expansión decimal finita de $\frac{1}{n}$ (por ejemplo, escribimos $\frac{1}{2}=0.4\overline{9}$ como su expansión decimal infinita no $0.5$). Determine la longitud de la parte no periódica de la expansión decimal (infinita) de $\frac{1}{n}$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle{B}=90^{\circ}$. Sea $BD$ la altura desde $B$ sobre $AC$. Sean $P, Q$ e $I$ los incentros de los triángulos $ABD, CBD$ y $ABC$ respectivamente. Demuestre que el circuncentro del triángulo $PIQ$ se encuentra en la hipotenusa $AC$.

Si $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c = 1$, demuestra que \[ (1+a)(1+b)(1+c) \geq 8 (1-a)(1-b)(1-c) . \]

Encuentra el número de racionales $\frac{m}{n}$ tales que (i) $0 < \frac{m}{n} < 1$ ; (ii) $m$ y $n$ son relativamente primos; (iii) $mn = 25!$.

Sean $AC$ y $BD$ dos cuerdas de un círculo con centro $O$ tales que se intersecan en ángulo recto dentro del círculo en el punto $M$. Supongamos que $K$ y $L$ son los puntos medios de las cuerdas $AB$ y $CD$ respectivamente. Demuestra que $OKML$ es un paralelogramo.