Sea $S=\{n|n-1,n,n+1$ pueden ser expresados como la suma del cuadrado de dos enteros positivos . $\}$. Pruebe que si $n$ está en $S$, $n^{2}$ también está en $S$.

Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1$ . Pruebe que la desigualdad $\dfrac{a^k}{a+b}+ \dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\ge \dfrac{3}{2}$ se cumple para todo entero $k$ ( $k \ge 2$ ) .

Encuentre todas las ternas $(a,b,c)$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $a,b,c$ son números primos, donde $a<b<c<100$ . (ii) $a+1,b+1,c+1$ forman una secuencia geométrica.

En el triángulo rectángulo $ABC$ , $\angle C=90$ ° , El punto $D$ es el punto medio del lado $AB$ . Los puntos $M$ y $C$ están en el mismo lado de $AB$ tal que $MB\bot AB$ , la línea $MD$ intersecta el lado $AC$ en $N$ , la línea $MC$ intersecta el lado $AB$ en $E$ . Demuestre que $\angle DBN=\angle BCE$ .

Sea $f(x)$ una función que satisface $f(x+1)-f(x)=2x+1 (x \in \mathbb{R})$ . Además, $|f(x)|\le 1$ se cumple para $x\in [0,1]$ . Pruebe que $|f(x)|\le 2+x^2$ se cumple para $x \in \mathbb{R}$ .

Una secuencia de enteros positivos con $n$ términos satisface $\sum_{i=1}^{n} a_i=2007$ . Encuentre el entero positivo más pequeño $n$ tal que existan algunos términos consecutivos en la secuencia con su suma igual a $30$ .

Sea $a_i=min\{ k+\dfrac{i}{k}|k \in N^*\}$ , determine el valor de $S_{n^2}=[a_1]+[a_2]+\cdots +[a_{n^2}]$ , donde $n\ge 2$ . ( $[x]$ denota el mayor entero que no excede a x)

$AB$ es el diámetro de la semicircunferencia $O$ . $C$ , $D$ son dos puntos arbitrarios en la semicircunferencia $O$ . El punto $P$ está en la línea $CD$ tal que la línea $PB$ es tangente a la semicircunferencia $O$ en $B$ . La línea $PO$ intersecta las líneas $CA$ , $AD$ en los puntos $E$ , $F$ respectivamente. Pruebe que $OE$ = $OF$ .

Determine la cantidad de números reales $a$ , tal que para cada $a$ , la ecuación $x^3=ax+a+1$ tiene una raíz $x_0$ que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_0$ es un entero par; (b) $|x_0|<1000$ .

Hay 100 puntos en un círculo que están a punto de ser coloreados en dos colores: rojo o azul. Encuentra el número más grande $k$ tal que no importa cómo seleccione y coloree $k$ puntos, siempre puedes colorear los $100-k$ puntos restantes de tal manera que puedas conectar 50 pares de puntos del mismo color con líneas de manera que no se crucen dos líneas.