Olimpiada China Ronda 2, A1 2021 Problema 1
En el triángulo ABC, X, Y están en la bisectriz del ángulo ∠BAC y ∠ABX=∠ACY. BX intersecta a CY en P y los círculos (BYP) y (CXP) se intersectan en Q diferente de P. Demuestra que A, P, Q están en una línea.
Olimpiada Matemática Occidental de China 2004 Problema 8
Suponga que $ a$ , $ b$ , $ c$ son números reales positivos, pruebe que \[ 1 < \frac {a}{\sqrt {a^{2} + b^{2}}} + \frac {b}{\sqrt {b^{2} + c^{2}}} + \frac {c}{\sqrt {c^{2} + a^{2}}}\leq\frac {3\sqrt {2}}{2} \]
Olimpiada Matemática Occidental de China 2004 Problema 7
Sea $\ell$ el perímetro de un triángulo acutángulo $ABC$ que no es un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto variable dentro del triángulo $ABC$ , y sean $D,E,F$ las proyecciones de $P$ en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestre que \[ 2(AF+BD+CE ) = \ell \] si y sólo si $P$ es colineal con el incentro y el circuncentro del triángulo $ABC$ .
Olimpiada Matemática Occidental de China 2004 Problema 6
Todas las cuadrículas de un tablero de ajedrez de $m\times n$ ( $m,n\geq 3$ ) , están coloreadas ya sea con rojo o con azul. Dos cuadrículas adyacentes (que tienen un lado en común) se llaman un 'buen par' si tienen diferentes colores. Suponga que hay $S$ 'buenos pares'. Explique cómo determinar si $S$ es impar o par. ¿Está prescrito por algunas cuadrículas de colores específicos? Justifica tus respuestas.
Olimpiada Matemática Occidental de China 2004 Problema 5
La secuencia $\{a_n\}_{n}$ satisface las relaciones $a_1=a_2=1$ y para todos los enteros positivos $n$ , \[ a_{n+2} = \frac 1{a_{n+1}} + a_n . \] Encuentra $a_{2004}$ .
Olimpiada del Norte de China 2011 Problema 8
Se sabe que $n$ es un entero positivo, y el número real $x$ satisface $$|1-|2-...|(n-1)-|n-x||...||=x.$$ Encuentre el valor de $x$ .
Olimpiada del Norte de China 2011 Problema 7
En $\triangle ABC$ , entonces \[\frac{1}{1+\cos^2 A+\cos^2 B}+\frac{1}{1+\cos^2 B+\cos^2 C}+\frac{1}{1+\cos^2 C+\cos^2 A}\le 2\]
Olimpiada del Norte de China 2011 Problema 6
Como se muestra en la figura, desde un punto $P$ exterior al círculo $\odot O$ , dibujamos la tangente $PA$ y la secante $PBC$ . Sea $AD \perp PO$ Pruebe que $AC$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABD$ .
Olimpiada del Norte de China 2011 Problema 5
Si los enteros positivos $a, b, c$ satisfacen $a^2+b^2=c^2$ , entonces $(a, b, c)$ se llama una terna pitagórica. Encuentre todas las ternas pitagóricas que contienen $30$ .
Olimpiada del Norte de China 2011 Problema 4
Asuma que los $n$ conjuntos $A_1, A_2..., A_n$ son una partición del conjunto $A=\{1,2,...,29\}$ , y la suma de cualquier elemento en $A_i$ , $(i=1,2,...,n)$ no es igual a $30$ . Encuentre el valor posible más pequeño de $n$ .