Sea $f(n)$ el menor número de puntos distintos en el plano tal que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una línea recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Encuentre una expresión explícita para $f(n).$ Versión simplificada. Demuestre que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right].$ Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$

Tres personas $A,B,C$ , están jugando el siguiente juego: Un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$ es escogido aleatoriamente, con una probabilidad igual de cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual a $1986$ . El ganador es $A,B$ o $C$ , respectivamente, si la suma de los números escogidos deja un resto de $0, 1$ , o $2$ cuando se divide por $3$ . ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.)

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿siempre es posible colorear los puntos de rojo o blanco de manera que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas, la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$ ?

De una colección de $n$ personas, se seleccionan $q$ distintos equipos de dos miembros y se clasifican $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el entero más pequeño mayor o igual a $2q/n$ . Demuestre que existen $m$ equipos distintos que pueden ser listados de forma que:\n(i) cada par de equipos consecutivos en la lista tienen un miembro en común y\n(ii) la cadena de equipos en la lista está en orden de clasificación.\nFormulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots , q$ , demuestre que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$ , donde cada dos aristas consecutivas tienen un vértice en común, dispuestas monótonamente con respecto a la numeración.

Sean los números reales $x_1, x_2, \cdots , x_n$ que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ y sea $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$ . Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:\n\[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{donde } i = 1, 2, . . ., n.\]\nPrueba que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$

Encontrar cuatro enteros positivos, cada uno sin exceder $70000$ y cada uno teniendo más de $100$ divisores.

Sea $d$ cualquier entero positivo no igual a $2, 5$ o $13$ . Demostrar que se pueden encontrar distintos $a,b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tal que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Dado la ecuación $xyz = p^n(x + y + z)$ donde $p \geq 3$ es un primo y $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que la ecuación tiene al menos $3n + 3$ soluciones diferentes $(x,y,z)$ con números naturales $x,y,z$ y $x < y < z$ . Demostrar lo mismo para $p > 3$ siendo un entero impar.

Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de una cuerda circular tal que $B$ está al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, se giró y nadó hacia el oeste, llegando a la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son enteros positivos, determine $y$.

Sea $f(x) = x^n$ donde $n$ es un entero positivo fijo y $x =1, 2, \cdots .$ ¿Es la expansión decimal $a = 0.f (1)f(2)f(3) . . .$ racional para cualquier valor de $n$ ? La expansión decimal de a se define de la siguiente manera: Si $f(x) = d_1(x)d_2(x) \cdots d_{r(x)}(x)$ es la expansión decimal de $f(x)$ , entonces $a = 0.1d_1(2)d_2(2) \cdots d_{r(2)}(2)d_1(3) . . . d_{r(3)}(3)d_1(4) \cdots .$