Triángulo inscrito $ABC$ en el círculo $\odot O$ . La bisectriz de $\angle ABC$ interseca a $\odot O$ en $D$ . Dos líneas $PB$ y $PC$ que son tangentes a $\odot O$ se intersecan en $P$ . $PD$ interseca a $AC$ en $E$ , $\odot O$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $BC$ . Demostrar que $M,F,C,E$ son concíclicos.

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n$ números reales positivos, $a_1+a_2+\cdots,a_n=1$ . Demostrar que $$\sum_{m=1}^n\frac{a_m}{\prod\limits_{k=1}^m(1+a_k)}\leq1-\frac{1}{2^n}.$$

Definir la secuencia $(a_n):a_n=2^n+3^n+6^n+1(n\in\mathbb{Z}_+)$ . ¿Existen enteros $k\geq2$ , que satisfacen que $\gcd(k,a_i)=1$ para todo $k\in\mathbb{Z}_+$ ? Si es así, encontrar el $k$ más pequeño. Si no, demostrar esto.

Sea $n(n>1)$ un número impar. Definimos $x_k=(x^{(k)}_1,x^{(k)}_2,\cdots ,x^{(k)}_n)$ como sigue: $x_0=(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,\cdots ,x^{(0)}_n)=(1,0,\cdots ,0,1)$ ; $ x^{(k)}_i =\begin{cases}0, \quad x^{(k-1)}_i=x^{(k-1)}_{i+1},\\ 1, \quad x^{(k-1)}_i\not= x^{(k-1)}_{i+1},\end{cases} $ $i=1,2,\cdots ,n$ , donde $x^{(k-1)}_{n+1}= x^{(k-1)}_1$ . Sea $m$ un entero positivo que satisface $x_0=x_m$ . Pruebe que $m$ es divisible por $n$.

Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_{10}$ números naturales distintos por pares con su suma igual a 1995. Encuentre el valor mínimo de $a_1a_2+a_2a_3+\cdots +a_9a_{10}+a_{10}a_1$.

Dadas cuatro esferas con sus radios iguales a $2,2,3,3$ respectivamente, cada esfera toca externamente a las otras esferas. Suponga que hay otra esfera que es tangente externamente a todas esas cuatro esferas, determine el radio de esta esfera.

En el triángulo $ABC,AB>AC,I$ es el incentro, $AM$ es la mediana. La línea que cruza $I$ y es perpendicular a $BC $ intersecta a $AM$ en el punto $L$ , y la simetría de $I$ con respecto al punto $A$ es $J$ Demuestra que: $\angle ABJ= \angle LBI$

Dado un entero positivo $ n\geq 2$, sean $ B_{1}$, $ B_{2}$, ..., $ B_{n}$ denote $ n$ subconjuntos de un conjunto $ X$ tal que cada $ B_{i}$ contiene exactamente dos elementos. Encuentre el valor mínimo de $ \left|X\right|$ tal que para cualquier elección de subconjuntos $ B_{1}$, $ B_{2}$, ..., $ B_{n}$, existe un subconjunto $ Y$ de $ X$ tal que:\n(1) $ \left|Y\right| = n$ ;\n(2) $ \left|Y \cap B_{i}\right|\leq 1$ para cada $ i\in\left\{1,2,...,n\right\}$.

Sea $k$ un entero positivo no menor que 3 y $x$ un número real. Pruebe que si $\cos (k-1)x$ y $\cos kx$ son racionales, entonces existe un entero positivo $n>k$, tal que tanto $\cos (n-1)x$ como $\cos nx$ son racionales.

$AB$ es un diámetro del círculo $O$, el punto $C$ se encuentra en la línea $AB$ producida. Una línea que pasa por $C$ se interseca con el círculo $O$ en los puntos $D$ y $E$. $OF$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita $O_{1}$ de $\triangle BOD$. Una $CF$ y extienda, cortando el círculo $O_{1}$ en $G$. Pruebe que los puntos $O,A,E,G$ son concíclicos.