Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sean $X$ , $Y$ y $Z$ los incentros de los triángulos $BIC$ , $CIA$ y $AIB$ , respectivamente. Sea el triángulo $XYZ$ equilátero. Pruebe que $ABC$ es equilátero también.

Sean los lados $AD$ y $BC$ del cuadrilátero $ABCD$ (tal que $AB$ no es paralelo a $CD$ ) se intersecan en el punto $P$ . Los puntos $O_1$ y $O_2$ son circuncentros y los puntos $H_1$ y $H_2$ son ortocentros de los triángulos $ABP$ y $CDP$ , respectivamente. Denotemos los puntos medios de los segmentos $O_1H_1$ y $O_2H_2$ por $E_1$ y $E_2$ , respectivamente. Pruebe que la perpendicular de $E_1$ sobre $CD$ , la perpendicular de $E_2$ sobre $AB$ y las líneas $H_1H_2$ son concurrentes.

Sea $P$ un polígono que es convexo y simétrico a algún punto $O$ . Pruebe que para algún paralelogramo $R$ que satisface $P\subset R$ tenemos \[\frac{|R|}{|P|}\leq \sqrt 2\] donde $|R|$ y $|P|$ denotan el área de los conjuntos $R$ y $P$ , respectivamente.

Sea $ ABC$ un triángulo con $ AB = AC$ . Las bisectrices de $ \angle C AB$ y $ \angle AB C$ se encuentran con los lados $ B C$ y $ C A$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Sea $ K$ el incentro del triángulo $ ADC$ . Suponga que $ \angle B E K = 45^\circ$ . Encuentra todos los valores posibles de $ \angle C AB$ .

Suponga que $ s_1,s_2,s_3, \ldots$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tales que las sub-sucesiones \n$ s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots$ son ambas progresiones aritméticas. Demuestra que la sucesión $ s_1, s_2, s_3, \ldots$ es en sí misma una progresión aritmética.

Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$ , respectivamente, y sea $ \Gamma$ la circunferencia que pasa por $ K,L$ y $ M$ . Suponga que la recta $ PQ$ es tangente a la circunferencia $ \Gamma$ . Demuestra que $ OP = OQ.$

Sea $ n$ un entero positivo y sean $ a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k$ $ ( k\ge 2)$ enteros distintos en el conjunto $ { 1,2,\ldots,n}$ tales que $ n$ divide a $ a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $ i = 1,2,\ldots,k - 1$ . Demuestra que $ n$ no divide a $ a_k(a_1 - 1).$

Considera un tablero de $2n \times 2n$. De la línea $i$-ésima removemos los $2(i-1)$ cuadrados unitarios centrales. ¿Cuál es el número máximo de rectángulos de $2 \times 1$ y $1 \times 2$ que pueden ser colocados en la figura obtenida sin superponerse o salirse del tablero?

Llamamos a un número perfecto si la suma de sus divisores enteros positivos (incluyendo $1$ y $n$ ) es igual a $2n$ . Determinar todos los números perfectos $n$ para los cuales $n-1$ y $n+1$ son números primos.

El triángulo $ABC$ es isósceles con $AB=AC$ , y $\angle{BAC}<60^{\circ}$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen en el lado $AC$ de tal manera que $EB=ED$ , y $\angle{ABD}\equiv\angle{CBE}$ . Denotemos por $O$ el punto de intersección entre las bisectrices internas de los ángulos $\angle{BDC}$ y $\angle{ACB}$ . Calcular $\angle{COD}$ .