Sea $\odot O$ el círculo inscrito del $\vartriangle ABC$ , con $D$ , $E$ , $N$ los puntos de contacto con los lados $AB$ , $AC$ , $BC$ respectivamente. La extensión de $NO$ interseca el segmento $DE$ en el punto $K$ . La extensión de $AK$ interseca el segmento $BC$ en el punto $M$ . Pruebe que $M$ es el punto medio de $BC$ .

Sea $a=2001$. Considere el conjunto $A$ de todos los pares de enteros $(m,n)$ con $n\neq0$ tales que (i) $m<2a$ ; (ii) $2n|(2am-m^2+n^2)$ ; (iii) $n^2-m^2+2mn\leq2a(n-m)$. Para $(m, n)\in A$ , sea \nf(m,n)=\frac{2am-m^2-mn}{n}.\nDetermine los valores máximo y mínimo de $f$.

Sea $P_1P_2\ldots P_{24}$ un polígono regular de $24$ lados inscrito en un círculo $\omega$ con circunferencia $24$. Determine el número de formas de elegir conjuntos de ocho vértices distintos de estos $24$ tales que ninguno de los arcos tenga longitud $3$ u $8$.

Sean $a,b,c$ enteros positivos tales que $a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+b+c$ son $7$ primos distintos. La suma de dos de $a,b,c$ es $800$. Si $d$ es la diferencia entre el primo más grande y el primo más pequeño entre esos $7$ primos, encuentre el valor máximo de $d$.

Dado un conjunto $I=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_i\in\{1,2,\cdots,11\}\}$ . $A\subseteq I$ , satisfaciendo que para cualquier $(x_1,x_2,x_3,x_4),(y_1,y_2,y_3,y_4)\in A$ , existe $i,j(1\leq i<j\leq4)$ , $(x_i-x_j)(y_i-y_j)<0$ . Encontrar el valor máximo de $|A|$ .

Definir la secuencia $(a_n):a_n=2^n+3^n+6^n+1(n\in\mathbb{Z}_+)$ . ¿Existen enteros $k\geq2$ , que satisfacen que $\gcd(k,a_i)=1$ para todo $k\in\mathbb{Z}_+$ ? Si es así, encontrar el $k$ más pequeño. Si no, demostrar esto.

Cuatro puntos $B,E,A,F$ se encuentran en la línea $AB$ en orden, cuatro puntos $C,G,D,H$ se encuentran en la línea $CD$ en orden, satisfaciendo: $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FB}=\frac{DG}{GC}=\frac{DH}{HC}=\frac{AD}{BC}.$$ Demostrar que $FH\perp EG$ .

$a_1=2,a_{n+1}=\frac{2^{n+1}a_n}{(n+\frac{1}{2})a_n+2^n}(n\in\mathbb{Z}_+)$ (a) Encontrar $a_n$ . (b) Sea $b_n=\frac{n^3+2n^2+2n+2}{n(n+1)(n^2+1)a_n}$ . Encontrar $S_n=\sum_{i=1}^nb_i$ .

¿Podemos colocar los enteros $1,2,\cdots,12$ en un círculo, numerarlos $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ en orden? Para cualquier $1\leq i<j\leq12$ , $|a_i-a_j|\neq|i-j|$ ?

$m(m>1)$ es un entero, definir $(a_n)$ : $a_0=m,a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ para todo entero positivo $n$ . Si para todo entero no negativo $k$ , $a_{k+1}\mid a_k$ , encontrar todos los $m$ que no sean mayores que $2016$ . Nota: $\varphi(n)$ significa la función de Euler.