La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a $BC$ en $D$ y a $AB$ en $F$ , intersecta la línea $AD$ nuevamente en $H$ y la línea $CF$ nuevamente en $K$ . Demuestra que $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3$

Para cualquier conjunto $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$ , sea $P(A)=a_1a_2\cdots a_m$ . Sea $n={2010\choose99}$ , y sean $A_1, A_2,\cdots,A_n$ todos los subconjuntos de $99$ elementos de $\{1,2,\cdots,2010\}$ . Demuestra que $2010|\sum^{n}_{i=1}P(A_i)$ .

Sean $a,b,c\in\{0,1,2,\cdots,9\}$ . La ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ tiene una raíz racional. Demuestra que el número de tres dígitos $abc$ no es un número primo.

Sea ${n}$ un entero positivo fijo. ${A}$ y ${B}$ juegan el siguiente juego: $2023$ monedas marcadas $1, 2, \dots, 2023$ se encuentran en un círculo (las marcas se consideran en módulo $2023$ ) y cada moneda tiene dos lados. Inicialmente, todas las monedas están boca arriba y el objetivo de ${A}$ es hacer que tantas monedas estén boca abajo como sea posible. En cada operación, ${A}$ elige dos monedas marcadas ${k}$ y $k+3$ boca arriba (si ${A}$ no puede elegir, el juego termina) y ${B}$ elige una moneda marcada $k+1$ o $k+2$ y la voltea. Si en algún momento hay ${n}$ monedas boca abajo, ${A}$ gana. Encuentra el ${n}$ más grande tal que ${A}$ tenga una estrategia ganadora.

Sea $p(x)$ un polinomio de grado $n$ $(n \ge 2)$ con coeficientes enteros. Si hay infinitos enteros positivos $m$ , tal que $p(m)$ a lo sumo $n -1$ factores primos diferentes $f$ , demuestre que $p(x)$ tiene a lo sumo $n-1$ raíces racionales diferentes.

Sea $R[x]$ el conjunto de todos los polinomios de coeficientes reales, y define la aplicación $T: R[x] \to R[x]$ como sigue: Para $$f (x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n- 1} +...+ a_1x + a_0,$$ sea $$T(f(x))=a_{n}x^{n+1} + a_{n-1}x^{n} + (a_n+a_{n-2})x^{n-1 } + (a_{n-1}+a_{n-3})x^{n-2}+...+(a_2+a_0)x+a_1.$$ Asume $P_0(x)= 1$ , $P_n(x) = T(P_{n-1}(x))$ ( $n=1,2,...$ ) , encuentra el término constante de $P_n(x)$ .

Como se muestra en la figura, en $\vartriangle ABC$ , $AB>AC$ , el círculo inscrito $I$ es tangente a los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ respectivamente, y las líneas rectas $BC$ y $EF$ se intersecan en el punto $K$ , $DG \perp EF$ en el punto $G$ , el rayo $IG$ interseca el círculo circunscrito de $\vartriangle ABC$ en el punto $H$ . Demuestra que los puntos $H$ , $G$ , $D$ , $K$ se encuentran en un círculo.

Encuentra el número real más grande $c$ , tal que para cualquier entero $s>1$ , y enteros positivos $m, n$ coprimos con $s$ , tenemos $$ \sum_{j=1}^{s-1} \{ \frac{jm}{s} \}(1 - \{ \frac{jm}{s} \})\{ \frac{jn}{s} \}(1 - \{ \frac{jn}{s} \}) \ge cs$$ donde $\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor $ .

En $\triangle {ABC}$ , ${D}$ está en la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ y $\angle ADB=\angle ACD$ . $E, F$ están en la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ , tal que $AE=BE$ y $AF=CF$ . Los circuncírculos de $\triangle ACE$ y $\triangle ABF$ se intersecan en ${A}$ y ${K}$ y $A'$ es la reflexión de ${A}$ con respecto a $BC$ . Demuestra que: si $AD=BC$ , entonces el circuncentro de $\triangle AKA'$ está en la línea $AD$ .

Para un conjunto no vacío y finito de números complejos $A$ , define la 'raíz de Tao' de $A$ como $\left|\sum_{z\in A} z \right|$ . Dado el entero $n\ge 3$ , sea el conjunto $$U_n = \{\cos\frac{2k \pi}{n}+ i\sin\frac{2k \pi}{n}|k=0,1,...,n-1\}.$$ Sea $a_n$ el número de subconjuntos no vacíos en los que la raíz de Tao de $U_n$ es $0$ , $b_n$ es el número de subconjuntos no vacíos de $U_n$ cuya raíz de Tao es $1$ . Compara los tamaños de $na_n$ y $2b_n$ .