Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\Omega.$ Sea la tangente a $\Omega$ en $D$ que se encuentra con los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro de $\triangle ABC$ de modo que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto en el segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestra que las líneas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

Considera una rejilla cuadrada unitaria de $100\times 100$ $\textbf{L}$ (por lo tanto, $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos en $\mathcal{F}$ se encuentran en $\textbf{L}$ y cada punto en $\textbf{L}$ es el vértice de exactamente un polígono en $\mathcal{F}.$ Encuentra la máxima suma posible de las áreas de los polígonos en $\mathcal{F}.$

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$ , y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A I C$ . La extensión de $B A$ más allá de $A$ se encuentra con $\Omega$ en $X$ , y la extensión de $B C$ más allá de $C$ se encuentra con $\Omega$ en $Z$ . Las extensiones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ se encuentran con $\Omega$ en $Y$ y $T$ , respectivamente. Demuestra que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\]

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la extensión del rayo $AB$ más allá de $B.$ El circuncírculo de $ACD$ se encuentra con el segmento $PD$ nuevamente en $Q.$ El circuncírculo del triángulo $APQ$ se encuentra con el segmento $PC$ en $R.$ Demuestra que las líneas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

Determina el entero más grande $N$ para el cual existe una tabla $T$ de enteros con $N$ filas y $100$ columnas que tiene las siguientes propiedades:\n$\text{(i)}$ Cada fila contiene los números $1$ , $2$ , $\ldots$ , $100$ en algún orden.\n$\text{(ii)}$ Para cualesquiera dos filas distintas $r$ y $s$ , existe una columna $c$ tal que $|T(r,c) - T(s, c)|\geq 2$ . (Aquí $T(r,c)$ es la entrada en la fila $r$ y columna $c$ . )

Considera un cuadrado cuadriculado de $3m\times 3m$, donde $m$ es un entero mayor que $1.$ Una rana se sienta en la celda de la esquina inferior izquierda $S$ y quiere llegar a la celda de la esquina superior derecha $F.$ La rana puede saltar desde cualquier celda a la siguiente celda a la derecha o a la siguiente celda hacia arriba. Algunas celdas pueden ser 'pegajosas', y la rana queda atrapada una vez que salta sobre tal celda. Un conjunto $X$ de celdas se llama 'bloqueante' si la rana no puede llegar a $F$ desde $S$ cuando todas las celdas de $X$ son 'pegajosas'. Un conjunto bloqueante es minimal si no contiene un conjunto bloqueante más pequeño. Demuestra que existe un conjunto bloqueante minimal que contiene al menos $3m^2-3m$ celdas. Demuestra que todo conjunto bloqueante minimal contiene a lo sumo $3m^2$ celdas.

Un cazador y un conejo invisible juegan en una cuadrícula cuadrada infinita. Primero, el cazador fija una coloración de las celdas con finitamente muchos colores. Luego, el conejo elige secretamente una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa el color de su celda actual al cazador, y luego se mueve secretamente a una celda adyacente que no ha visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten un borde). El cazador gana si después de un tiempo finito: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que comenzó el conejo. Decide si existe una estrategia ganadora para el cazador.

Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n>k\geqslant 1$ . Hay $2n+1$ estudiantes de pie en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos, a saber, los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ a la izquierda y los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ a la derecha. Suponga que $n+1$ de los estudiantes son niñas y los otros $n$ son niños. Demuestra que hay una niña con al menos $k$ niñas entre sus vecinos.

El reino de Anisotropía consta de $n$ ciudades. Para cada dos ciudades existe exactamente un camino directo de un solo sentido entre ellas. Decimos que un camino de $X$ a $Y$ es una secuencia de caminos tal que uno puede moverse de $X$ a $Y$ a lo largo de esta secuencia sin regresar a una ciudad ya visitada. Una colección de caminos se llama diversa si ningún camino pertenece a dos o más caminos en la colección. Sean $A$ y $B$ dos ciudades distintas en Anisotropía. Sea $N_{AB}$ denota el número máximo de caminos en una colección diversa de caminos de $A$ a $B$ . De manera similar, sea $N_{BA}$ denota el número máximo de caminos en una colección diversa de caminos de $B$ a $A$ . Demuestra que la igualdad $N_{AB} = N_{BA}$ se cumple si y solo si el número de caminos que salen de $A$ es el mismo que el número de caminos que salen de $B$ .

Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021, y excava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy se da cuenta de que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$ . Demuestra que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$ - ésimo movimiento, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$ .