Sea $a, b>0$ . Demuestra que: $$ (a^3+b^3+a^3b^3)(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{a^3b^3} ) +27 \ge 6(a+b+\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{a}{b} +\frac{b}{a}) $$

Sea $p(x)$ un polinomio de grado $n$ $(n \ge 2)$ con coeficientes enteros. Si hay infinitos enteros positivos $m$ , tal que $p(m)$ a lo sumo $n -1$ factores primos diferentes $f$ , demuestre que $p(x)$ tiene a lo sumo $n-1$ raíces racionales diferentes.

El entero positivo $S$ se llama un 'número de línea', si existe un entero positivo $n$ y $2n$ enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , ... , $a_n$ , $b_1$ , $b_2$ , ... , $b_n$ , tal que $S = \sum^n_{i=1} a_ib_i$ , $\sum^n_{i=1} (a_i^2-b_1^2)=1$ , y $\sum^n_{i=1} (a_i+b_i)=2023$ , encuentra: (1) El valor mínimo de los números de línea. (2) El valor máximo de los números de línea.

Sea $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_n >0 .$ Demuestra que $$ \left( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)^2\geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k(2k-1)}{a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_k}$$

Sea $AB$ una cuerda del semicírculo $O$ (no el diámetro). $M$ es el punto medio de $AB$ , y $D$ es un punto que se encuentra en la línea $OM$ ( $D$ está fuera del semicírculo $O$ ) . La línea $l$ pasa por $D$ y es paralela a $AB$ . $P, Q$ son dos puntos que se encuentran en $l$ y $PO$ se encuentra con el semicírculo $O$ en $C$ . Si $\angle PCD=\angle DMC$ , y $M$ es el ortocentro de $\triangle OPQ$ . Demuestra que la intersección de $AQ$ y $PB$ se encuentra en el semicírculo $O$ .

Dado un entero $n\geq 2$ . Llama a un entero positivo ${T}$ Número Pingsheng, si existen subconjuntos no vacíos, a pares distintos, $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ $(m\geq 3)$ del conjunto $S=\{1,2,\cdots ,n\},$ satisfaciendo $T=\sum\limits_{i=1}^m|A_i|,$ y para $\forall p,q,r\in\{1,2,\cdots ,m\},p\neq q,q\neq r,r\neq p,$ tenemos $A_p\cap(A_q\triangle A_r)=\varnothing$ o $A_p\subseteq (A_q\triangle A_r).$ Encuentra el máximo Número Pingsheng .

En el triángulo acutángulo $ABC$ ($\triangle ABC$ no es un triángulo isósceles), $I$ es su incentro, y el círculo $ \omega$ es su círculo inscrito. $\odot\omega$ toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ respectivamente. $AD$ se interseca con $\odot\omega$ en $J$ ( $J\neq D$ ) , y el circuncírculo de $\triangle BCJ$ interseca a $\odot\omega$ en $K$ ( $K\neq J$ ) . Los circuncírculos de $\triangle BFK$ y $\triangle CEK$ se encuentran en $L$ ( $L\neq K$ ) . Sea $M$ el punto medio del arco mayor $BAC$ . Demuestra que $M, I, L$ son colineales.

$A$ es un subconjunto no vacío de enteros positivos. Sea $$f(A)=\{abc-b-c+2\vert a,b,c\in A\}$$ Determina todos los enteros $n$ mayores que $1$ tal que podamos dividir el conjunto de enteros positivos en $A_1, A_2, \dots, A_n$ ( $A_i\neq \emptyset (i=1, 2, \dots , n)$ , $\forall 1\le i < j \le n, A_i\cap A_j = \emptyset$ y $\bigcup_{i=1}^{n} A_i=\mathbb{N}^*$ ) tal que $\forall 1\le i\le n, f(A_i) \subseteq A_i$ .

La sucesión positiva $\{a_n\}$ satisface: $a_1=1$ y $$a_n=2+\sqrt{a_{n-1}}-2 \sqrt{1+\sqrt{a_{n-1}}}(n\geq 2)$$ Sea $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{2^ka_k}$ . Encuentra el valor de $S_{2023}$ .

Sean $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ números reales positivos $(n \geq 2)$, no todos iguales, tales que $\sum_{k=1}^n a_{k}^{-2n}=1$, pruebe que: $\sum_{k=1}^n a_{k}^{2n}-n^2.\sum_{1 \leq i<j \leq n}(\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{j}}{a_{i}})^2 >n^2$