Dado un triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es un punto en $BC$. Un círculo con diámetro $BD$ interseca a la línea $AB,AD$ en $X,P$ respectivamente (diferente de $B,D$). El círculo con diámetro $CD$ interseca a $AC,AD$ en $Y,Q$ respectivamente (diferente de $C,D$). Traza dos líneas a través de $A$ perpendiculares a $PX,QY$, los pies son $M,N$ respectivamente. Demuestra que $\triangle AMN$ es similar a $\triangle ABC$ si y sólo si $AD$ pasa por el circuncentro de $\triangle ABC$.

Define una secuencia $(x_{n})_{n\geq 1}$ tomando $x_{1}\in\left\{5,7\right\}$; cuando $k\ge 1$, $x_{k+1}\in\left\{5^{x_{k}},7^{x_{k}}\right\}$. Determina todos los posibles dos últimos dígitos de $x_{2009}$.

Supongamos que $c\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ . Encuentra el menor $M$ tal que para cada entero $n\ge 2$ y números reales $0<a_1\le a_2\le\ldots \le a_n$ , si $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ , entonces siempre tenemos que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}\le M\sum_{k=1}^{m}a_{k}$ donde $m=[cn]$

Supongamos que un punto en el plano se llama bueno si tiene coordenadas racionales. Demuestra que todos los puntos buenos pueden ser divididos en tres conjuntos que satisfacen: 1) Si el centro del círculo es bueno, entonces hay tres puntos en el círculo de cada uno de los tres conjuntos. 2) No hay tres puntos colineales que sean de cada uno de los tres conjuntos.

Para cada cuatro puntos $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ en el plano, encuentra el valor mínimo de $\frac{\sum_{1\le\ i<j\le\ 4}P_{i}P_{j}}{\min_{1\le\ i<j\le\ 4}(P_{i}P_{j})}$ .

$A_1,A_2,\cdots,A_8$ son puntos fijos en un círculo. Determina el entero positivo más pequeño $n$ tal que entre cualesquiera $n$ triángulos con estos ocho puntos como vértices, dos de ellos tendrán un lado común.

Sea $n$ un entero positivo. Los números reales $a_1,a_2,\cdots,a_n$ y $r_1,r_2,\cdots,r_n$ son tales que $a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n$ y $0\leq r_1\leq r_2\leq \cdots \leq r_n$ . Demuestra que $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j \min (r_i,r_j)\geq 0$

Sea $\mathbb{N}^*$ el conjunto de enteros positivos. Define $a_1=2$ , y para $n=1, 2, \ldots,$ \[\na_{n+1}=\min\{\lambda|\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots\frac{1}{a_n}+\frac{1}{\lambda}<1,\lambda\in \mathbb{N}^*\}\] Demuestra que $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ para $n=1,2,\ldots$ .

$ABC$ es un triángulo con un ángulo recto en $C$ . $M_1$ y $M_2$ son dos puntos arbitrarios dentro de $ABC$ , y $M$ es el punto medio de $M_1M_2$ . Las extensiones de $BM_1,BM$ y $BM_2$ intersectan $AC$ en $N_1,N$ y $N_2$ respectivamente. Demuestra que $\frac{M_1N_1}{BM_1}+\frac{M_2N_2}{BM_2}\geq 2\frac{MN}{BM}$

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $1\leq a<b\leq 100$ . Si existe un entero positivo $k$ tal que $ab|a^k+b^k$ , decimos que el par $(a, b)$ es bueno. Determina el número de pares buenos.