Tao juega el siguiente juego: dado una constante $v>1$; para cualquier entero positivo $m$, el tiempo entre la ronda $m^{th}$ y la ronda $(m+1)^{th}$ del juego es $2^{-m}$ segundos; Tao elige un área segura circular cuyo radio es $2^{-m+1}$ (con el borde, y el tiempo de elección no se calculará) en el plano en la ronda $m^{th}$; el área segura circular elegida en cada ronda mantendrá su centro fijo, y su radio disminuirá a la velocidad $v$ en el resto del tiempo (si el radio disminuye a $0$, borra el área segura circular); si es posible elegir un área segura circular dentro de la unión de las áreas seguras restantes en algún momento antes de la ronda $100^{th}$ (incluida la ronda $100^{th}$), entonces Tao gana el juego. Si Tao tiene una estrategia ganadora, encuentra el valor mínimo de $\biggl\lfloor\frac{1}{v-1}\biggr\rfloor$.

Sean $a, b$ enteros positivos. Demuestra que no hay enteros positivos en el intervalo $\bigg[\frac{b^2}{a^2+ab}, \frac{b^2}{a^2+ab-1}\bigg)$.

$H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$, el círculo con centro $H$ pasa por $A$, e interseca a $AC, AB$ en otros dos puntos $D, E$. El ortocentro de $\triangle ADE$ es $H'$, la línea $AH'$ interseca a $DE$ en el punto $F$. El punto $P$ está dentro del cuadrilátero $BCDE$, de modo que $\triangle PDE \sim \triangle PBC$. Sea el punto $K$ la intersección de la línea $HH'$ y la línea $PF$. Demuestra que $A, H, P, K$ se encuentran en un círculo.

Las sucesiones positivas $\{a_n\},\{b_n\}$ satisfacen: $a_1=b_1=1, b_n=a_n b_{n-1} - \frac{1}{4} (n\geq 2)$. Encuentra el valor mínimo de $4\sqrt{b_1b_2\cdots b_m} + \sum_{k=1}^m \frac{1}{a_1a_2\cdots a_k}$, donde $m$ es un entero positivo dado.

Dado $m,n\geq 2$. Pinta cada celda de un tablero $m\times n$ $S$ de rojo o azul de manera que: para cualesquiera dos celdas rojas en una fila, una de las dos columnas a las que pertenecen es toda roja, y la otra columna tiene al menos una celda azul en ella. Encuentra el número de maneras de pintar $S$ así.

Si $x_i$ es un entero mayor que 1, sea $f(x_i)$ el mayor factor primo de $x_i, x_{i+1} = x_i - f(x_i)$ ($i\ge 0$ e i es un entero).\n(1) Demuestra que para cualquier entero $x_0$ mayor que 1, existe un número natural $k(x_0)$, tal que $x_{k(x_0)+1}=0$.\n(2) Sea $V_{(x_0)}$ el número de números diferentes en $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_{k(x_0)})$. Encuentra el número más grande en $V(2), V(3), \cdots, V(781)$ y da las razones.

En el triángulo acutángulo ABC, AB>AC. H es el ortocentro. M es el punto medio de BC y AD es la línea de la simediana. Demuestra que si $\angle ADH= \angle MAH$, EF biseca el segmento AD.

La sucesión positiva $\{a_n\}$ satisface: $a_1=1+\sqrt 2$ y $(a_n-a_{n-1})(a_n+a_{n-1}-2\sqrt n)=2(n\geq 2).$\n(1) Encuentra la fórmula general de $\{a_n\}$;\n(2) Encuentra el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tal que $\lfloor a_n\rfloor=2022$.

Dado el entero positivo $m \geq 2$ , $n \geq 3$ . Defina el siguiente conjunto $$S = \left\{(a, b) | a \in \{1, 2, \cdots, m\}, b \in \{1, 2, \cdots, n\} \right\}.$$ Sea $A$ un subconjunto de $S$ . Si no existen enteros positivos $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ tales que $x_1 < x_2 < x_3, y_1 < y_2 < y_3$ y $$(x_1, y_2), (x_2, y_1), (x_2, y_2), (x_2, y_3), (x_3, y_2) \in A.$$ Determine el mayor número posible de elementos en $A$ .

Encuentre el valor máximo de $n$ , tal que existen $n$ números positivos distintos por pares $x_1,x_2,\cdots,x_n$ , satisfaciendo $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=2017$$