Dados los enteros positivos $r, v, n$ sea $S(r, v, n)$ el número de $n$ - tuplas de enteros no negativos $(x_1, \cdots, x_n)$ que satisfacen la ecuación $x_1 +\cdots+ x_n = r$ y tal que $x_i \leq v$ para $i = 1, \cdots , n$ . Demuestra que \[S(r, v, n)=\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom nk \binom{r - (v + 1)k + n - 1}{n-1}\] Donde $m=\left\{n,\left[\frac{r}{v+1}\right]\right\}.$

Resuelve el sistema de ecuaciones \[\tan x_1 +\cot x_1=3 \tan x_2,\] \[\tan x_2 +\cot x_2=3 \tan x_3,\] \[\vdots\] \[\tan x_n +\cot x_n=3 \tan x_1\]

Sean $a, b, c, d$ las longitudes de los lados de un cuadrilátero circunscrito alrededor de un círculo y sea $S$ su área. Demuestra que $S \leq \sqrt{abcd}$ y encuentra las condiciones para la igualdad.

Sea $D$ el punto en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tal que $AD$ es la bisectriz de $\angle CAB$ . Sea $I$ el incentro de $ ABC.$ (a) Construye los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente, tal que $PQ$ es paralelo a $BC$ y el perímetro del triángulo $APQ$ es igual a $k \cdot BC$ , donde $k$ es un número racional dado. (b) Sea $R$ el punto de intersección de $PQ$ y $AD$ . ¿Para qué valor de $k$ se cumple la igualdad $AR = RI$? (c) ¿En qué caso se cumplen las igualdades $AR = RI = ID$?

Sean $C_1, C_2$ círculos de radio $1/2$ tangentes entre sí y ambos tangentes internamente a un círculo $C$ de radio $1$ . Los círculos $C_1$ y $C_2$ son los dos primeros términos de una secuencia infinita de círculos distintos $C_n$ definidos de la siguiente manera: $C_{n+2}$ es tangente externamente a $C_n$ y $C_{n+1}$ e internamente a $C$ . Demuestra que el radio de cada $C_n$ es el recíproco de un entero.

Sea $P$ un $1986$ -gono convexo en el plano. Sean $A,D$ puntos interiores de dos lados distintos de $P$ y sean $B,C$ dos puntos interiores distintos del segmento de línea $AD$ . Comenzando con un punto arbitrario $Q_1$ en el borde de $P$ , define recursivamente una secuencia de puntos $Q_n$ de la siguiente manera: dado $Q_n$ , extiende el segmento de línea dirigido $Q_nB$ para encontrar el borde de $P$ en un punto $R_n$ y luego extiende $R_nC$ para encontrar el borde de $P$ nuevamente en un punto, que se define como $Q_{n+1}$ . Demuestra que para todo $n$ suficientemente grande, los puntos $Q_n$ están en uno de los lados de $P$ que contiene a $A$ o $D$ .

Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ -ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$ . Un triángulo $XYZ$ , que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$ , se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encuentra el lugar geométrico de $X$ .

Deseamos construir una matriz con $19$ filas y $86$ columnas, con entradas $x_{ij} \in \{0, 1, 2\} \ (1 \leq i \leq 19, 1 \leq j \leq 86)$ , tal que: (i) en cada columna hay exactamente $k$ términos iguales a $0$ ; (ii) para cualquier $j, k \in \{1, . . . , 86\}$ distintos, existe $i \in \{1, . . . , 19\}$ con $x_{ij} + x_{ik} = 3.$ ¿Para qué valores de $k$ es esto posible?

Dados $n$ números reales $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ , defina\n\[M_1=\frac 1n \sum_{i=1}^{n} a_i , \quad M_2=\frac{2}{n(n-1)} \sum_{1 \leq i<j \leq n} a_ia_j, \quad Q=\sqrt{M_1^2-M_2}\]\nPruebe que\n\[a_1 \leq M_1 - Q \leq M_1 + Q \leq a_n\]\ny que la igualdad se cumple si y sólo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n.$

El círculo inscrito en un triángulo $ABC$ toca los lados $BC,CA,AB$ en $D,E, F$ , respectivamente, y $X, Y,Z$ son los puntos medios de $EF, FD,DE$ , respectivamente. Pruebe que los centros del círculo inscrito y de los círculos alrededor de $XYZ$ y $ABC$ son colineales.