Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $O$ , donde $AC\perp BD$ . $M$ sea el punto medio del arco $ADC$ . El círculo $(DOM)$ intersecta a $DA,DC$ en $E,F$ . Pruebe que $BE=BF$ .

Sean $a, b, c$ números reales, $a \neq 0$ . Si la ecuación $2ax^2 + bx + c = 0$ tiene una raíz real en el intervalo $[-1, 1]$ . Pruebe que $$\min \{c, a + c + 1\} \leq \max \{|b - a + 1|, |b + a - 1|\},$$ y determine las condiciones necesarias y suficientes de $a, b, c$ para que se logre el caso de igualdad.

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $D_n$ el conjunto de todos los divisores positivos de $n$ , y sea $f_i(n)$ el tamaño del conjunto $$F_i(n) = \{a \in D_n | a \equiv i \pmod{4} \}$$ donde $i = 0, 1, 2, 3$ . Determine el entero positivo más pequeño $m$ tal que $f_0(m) + f_1(m) - f_2(m) - f_3(m) = 2017$ .

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_{n+1}>0$ . Pruebe que $$\sum_{i-1}^{n}a_i\sum_{i=1}^{n}a_{i+1}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i a_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}\cdot \sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{i+1})$$

Sean $x_i \in \{0,1\}(i=1,2,\cdots ,n)$ , si el valor de function $f=f(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ can only be $0$ or $1$ , then we call $f$ a $n$ - var Boole function,and we denote $D_n(f)=\{(x_1,x_2, \cdots ,x_n)|f(x_1,x_2, \cdots ,x_n)=0\}.$ $(1)$ Find the number of $n$ - var Boole function; $(2)$ Let $g$ be a $n$ - var Boole function such that $g(x_1,x_2, \cdots ,x_n) \equiv 1+x_1+x_1x_2+x_1x_2x_3 +\cdots +x_1x_2 \cdots x_n \pmod 2$ , Find the number of elements of the set $D_n(g)$ , and find the maximum of $n \in \mathbb{N}_+$ such that $\sum_{(x_1,x_2, \cdots ,x_n) \in D_n(g)}(x_1+x_2+ \cdots +x_n) \le 2017.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. En $ABC$ , $AB \neq AB$ , $K$ es el punto medio de la mediana $AD$ , $DE \perp AB$ en $E$ , $DF \perp AC$ en $F$ . Las líneas $KE$ , $KF$ se intersecan con la línea $BC$ en $M$ , $N$ , respectivamente. Los circuncentros de $\triangle DEM$ , $\triangle DFN$ son $O_1, O_2$ , respectivamente. Pruebe que $O_1 O_2 \parallel BC$ .

Dado el entero positivo $m \geq 2$ , $n \geq 3$ . Defina el siguiente conjunto $$S = \left\{(a, b) | a \in \{1, 2, \cdots, m\}, b \in \{1, 2, \cdots, n\} \right\}.$$ Sea $A$ un subconjunto de $S$ . Si no existen enteros positivos $x_1, x_2, y_1, y_2, y_3$ tales que $x_1 < x_2, y_1 < y_2 < y_3$ y $$(x_1, y_1), (x_1, y_2), (x_1, y_3), (x_2, y_2) \in A.$$ Determine el mayor número posible de elementos en $A$ .

Sea $m$ un entero positivo dado. Define $a_k=\frac{(2km)!}{3^{(k-1)m}},k=1,2,\cdots.$ Pruebe que hay infinitos enteros e infinitos no enteros en la secuencia $\{a_k\}$ .

La secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_2 = \frac{3}{8}$ , y $a_{n + 1}^2 + 3 a_n a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} (a_n + a_{n + 2}) (n \in \mathbb{N^*})$ . $(1)$ Determine la fórmula general de la secuencia $\{a_n\}$ ; $(2)$ Pruebe que para cualquier entero positivo $n$ , existe $0 < a_n < \frac{1}{\sqrt{2n + 1}}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $O$ , donde $AC\perp BD$ . $M,N$ son los puntos medios del arco $ADC,ABC$ . $DO$ y $AN$ se intersecan entre sí en $G$ , la línea pasa por $G$ y es paralela a $NC$ e interseca a $CD$ en $K$ . Pruebe que $AK\perp BM$ .