Sean $p_1, p_2, \ldots, p_{25}$ primos que no exceden 2004. Encuentra el entero más grande $T$ tal que cada entero positivo $ \leq T$ puede ser expresado como sumas de divisores distintos de $(p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{25})^{2004}.$

Los puntos $D,E,F$ están en los lados $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente, que satisfacen $EF || BC$ , $D_1$ es un punto en $BC,$ Construye $D_1E_1 || DE, D_1F_1 || DF$ que intersecan a $AC$ y $AB$ en $E_1$ y $F_1$ , respectivamente. Construye $ \bigtriangleup PBC \sim \bigtriangleup DEF$ tal que $P$ y $A$ estén en el mismo lado de $BC.$ Demuestra que $E, E_1F_1, PD_1$ son concurrentes.

Tao juega el siguiente juego: dado una constante $v>1$; para cualquier entero positivo $m$, el tiempo entre la ronda $m^{th}$ y la ronda $(m+1)^{th}$ del juego es $2^{-m}$ segundos; Tao elige un área segura circular cuyo radio es $2^{-m+1}$ (con el borde, y el tiempo de elección no se calculará) en el plano en la ronda $m^{th}$; el área segura circular elegida en cada ronda mantendrá su centro fijo, y su radio disminuirá a la velocidad $v$ en el resto del tiempo (si el radio disminuye a $0$, borra el área segura circular); si es posible elegir un área segura circular dentro de la unión de las áreas seguras restantes en algún momento antes de la ronda $100^{th}$ (incluida la ronda $100^{th}$), entonces Tao gana el juego. Si Tao tiene una estrategia ganadora, encuentra el valor mínimo de $\biggl\lfloor\frac{1}{v-1}\biggr\rfloor$.

Demuestra que para cualquier número real positivo $\lambda$, existen $n$ números positivos $a_1, a_2, \cdots, a_n (n\geq 2)$, de modo que $a_1<a_2<\cdots<a_n<2^n\lambda$ y para cualquier $k=1,2,\cdots,n$ tenemos $$\gcd(a_1,a_k)+\gcd(a_2,a_k)+\cdots+\gcd(a_n,a_k)\equiv 0\pmod{a_k}$$

Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$. Un círculo con centro $P$ pasa por $A$ y $O$ y $OP$ / / $BC$. $D$ es un punto tal que $\angle DBA = \angle DCA = \angle BAC$. Demuestra que: El círculo $(P)$, el círculo $(BCD)$ y el círculo con diámetro $(AD)$ comparten un punto común.

Sean $a,b,c,d$ enteros no negativos. $(1)$ Si $a^2+b^2-cd^2=2022 ,$ encuentra el mínimo de $a+b+c+d;$ $(1)$ Si $a^2-b^2+cd^2=2022 ,$ encuentra el mínimo de $a+b+c+d .$

Si $x_i$ es un entero mayor que 1, sea $f(x_i)$ el mayor factor primo de $x_i, x_{i+1} = x_i - f(x_i)$ ($i\ge 0$ e i es un entero).\n(1) Demuestra que para cualquier entero $x_0$ mayor que 1, existe un número natural $k(x_0)$, tal que $x_{k(x_0)+1}=0$.\n(2) Sea $V_{(x_0)}$ el número de números diferentes en $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_{k(x_0)})$. Encuentra el número más grande en $V(2), V(3), \cdots, V(781)$ y da las razones.

Hay $n$ personas en línea, contando $1,2,\cdots, n$ de izquierda a derecha, aquellos que cuentan números impares abandonan la línea, las personas restantes presionan 1,2 de derecha a izquierda, y cuentan de nuevo, aquellos que cuentan números impares abandonan la línea, y luego las personas restantes cuentan de nuevo de izquierda a derecha $\cdots$ Sigue haciendo eso hasta que solo quede una persona en la línea. $f(n)$ es el número de la última persona que queda en el primer conteo. Encuentra la expresión para $f(n)$ y encuentra el valor de $f(2022)$

En el triángulo acutángulo ABC, AB>AC. H es el ortocentro. M es el punto medio de BC y AD es la línea de la simediana. Demuestra que si $\angle ADH= \angle MAH$, EF biseca el segmento AD.

Sean $x_1, x_2, x_3$ tres raíces reales positivas de la ecuación $x^3+ax^2+bx+c=0$ $(a,b,c\in R)$ y $x_1+x_2+x_3\leq 1$. Demuestra que $$a^3(1+a+b)-9c(3+3a+a^2)\leq 0$$