Dado el entero positivo $m \geq 2$ , $n \geq 3$ . Defina el siguiente conjunto $$S = \left\{(a, b) | a \in \{1, 2, \cdots, m\}, b \in \{1, 2, \cdots, n\} \right\}.$$ Sea $A$ un subconjunto de $S$ . Si no existen enteros positivos $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ tales que $x_1 < x_2 < x_3, y_1 < y_2 < y_3$ y $$(x_1, y_2), (x_2, y_1), (x_2, y_2), (x_2, y_3), (x_3, y_2) \in A.$$ Determine el mayor número posible de elementos en $A$ .