El triángulo $ABC$ satisface $\angle C=90^{\circ}$ . Un círculo que pasa por $A,B$ se encuentra con el segmento $AC$ en $G(\neq A,C)$ y se encuentra con el segmento $BC$ en el punto $D(\neq B)$ . El segmento $AD$ corta el segmento $BG$ en $H$ , y sea $l$ , la bisectriz perpendicular del segmento $AD$ , corta la bisectriz perpendicular del segmento $AB$ en el punto $E$ . Una línea que pasa por $D$ es perpendicular a $DE$ y corta a $l$ en el punto $F$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $CFH$ corta a $AC$ , $BC$ en $P(\neq C),Q(\neq C)$ respectivamente, entonces prueba que $PQ$ es perpendicular a $FH$ .

Durante 31 años, n (>6) tenistas tienen récords de victorias. Resulta que para cada dos jugadores, hay un tercer jugador que les ha ganado antes. Demuestra que para cada entero $k,l$ tal que $2^{2^k+1}-1>n, 1<l<2k+1$ , existen $l$ jugadores ( $A_1, A_2, ... , A_l$ ) tales que cada jugador $A_{i+1}$ ganó a $A_i$ . ( $A_{l+1}$ es el mismo que $A_1$ )

El triángulo $ABC$ satisface $\angle ABC < \angle BCA < \angle CAB < 90^{\circ}$ . $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , y $K$ es la reflexión de $O$ en $BC$ . $D,E$ es el pie de la línea perpendicular de $K$ a la línea $AB$ , $AC$ , respectivamente. La línea $DE$ se encuentra con $BC$ en $P$ , y un círculo con diámetro $AK$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $Q(\neq A)$ . Si $PQ$ corta la bisectriz perpendicular de $BC$ en $S$ , entonces prueba que $S$ se encuentra en el círculo con diámetro $AK$ .

Encuentra todos los enteros de la forma $\frac{m-6n}{m+2n}$ donde $m,n$ son números racionales no nulos que satisfacen $m^3=(27n^2+1)(m+2n)$ .

Sean $m,n$ enteros positivos con $1 \le n < m$ . Una caja está cerrada con varios candados que deben abrirse todos para abrir la caja, y que todos tienen diferentes llaves. Las llaves se distribuyen entre $m$ personas. Suponga que entre estas personas, ningún $n$ puede abrir la caja, pero cualquier $n+1$ puede abrirla. Encuentre el número más pequeño posible $l$ de candados y luego el número total de llaves para el cual esto es posible.

Sean $a,b$ enteros y $p$ un número primo tal que: (i) $p$ es el máximo común divisor de $a$ y $b$ ; (ii) $p^2$ divide a $a$ . Pruebe que el polinomio $x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^{n}+a+b$ no puede descomponerse en el producto de dos polinomios con coeficientes enteros y grado mayor que $1$ .

Sean $O$ y $R$ el circuncentro y el circunradio de un triángulo $ABC$ , y sea $P$ cualquier punto en el plano del triángulo. Las perpendiculares $PA_1,PB_1,PC_1$ se dibujan desde $P$ sobre $BC,CA,AB$ . Exprese $S_{A_1B_1C_1}/S_{ABC}$ en términos de $R$ y $d = OP$ , donde $S_{XYZ}$ es el área de $\triangle XYZ$ .

Para cualquier entero positivo $m$, demuestre que existen enteros $a,b$ que satisfacen $\left | a \right |\leq m$ , $ \left | b \right |\leq m$ , $0< a+b\sqrt{2}\leq \frac{1+\sqrt{2}}{m+2}$

Para todo entero positivo $n\geq 2$, demuestre que el producto de todos los números primos menores o iguales que $n$ es menor que $4^{n}$.

En cada uno de los $2007^{2}$ cuadrados unitarios en el tablero de ajedrez cuyo tamaño es $2007\times 2007$, hay una moneda en cada cuadrado de manera que sus 'caras' estén hacia arriba. Considere el proceso que voltea cuatro monedas consecutivas en la misma fila o voltea cuatro monedas consecutivas en la misma columna. Haciendo este proceso un número finito de veces, queremos hacer que las 'cruces' de todas las monedas estén hacia arriba, excepto una que se encuentra en la fila $i$-ésima y la columna $j$-ésima. Demuestre que esto es posible si y solo si ambos $i$ y $j$ son divisibles por $4$.