Octavio escribe un entero $n \geq 1$ en una pizarra y luego comienza un proceso en el que, en cada paso, borra el entero $k$ escrito en la pizarra y lo reemplaza con uno de los siguientes números: $$3k-1, \quad 2k+1, \quad \frac{k}{2}.$$ siempre que el resultado sea un entero. Demostrar que para cualquier entero $n \geq 1$ , Octavio puede escribir en la pizarra el número $3^{2023}$ después de un número finito de pasos.

Una coloración del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$ , debe hacerse de acuerdo con la siguiente regla: Cada número se colorea de azul o rojo, de modo que la suma de dos números cualesquiera (no necesariamente diferentes) del mismo color es azul. Determinar todas las posibles coloraciones del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$ que siguen esta regla.

Sean $A, B \in \mathbb{N}$ . Considere una sucesión $x_1, x_2, \ldots$ tal que para todo $n\geq 2$ , $$x_{n+1}=A \cdot \gcd(x_n, x_{n-1})+B. $$ Demuestre que la sucesión alcanza solo finitamente muchos valores distintos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ , para los cuales existen enteros positivos $a>b$ , que satisfacen $n=\frac{4ab}{a-b}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea $J$ el centro del $A$ - ex círculo de $ABC$ . Sea $D$ la proyección de $J$ en la línea $BC$ . Las bisectrices internas de los ángulos $BDJ$ y $JDC$ intersectan las líneas $BJ$ y $JC$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Los segmentos $XY$ y $JD$ se intersecan en $P$ . Sea $Q$ la proyección de $A$ en la línea $BC$ . Demuestre que la bisectriz interna del ángulo $QAP$ es perpendicular a la línea $XY$ .

Se nos da un cuadrilátero convexo $ABCD$ cuyos ángulos no son rectos. Asuma que hay puntos $P, Q, R, S$ en sus lados $AB, BC, CD, DA$ , respectivamente, tales que $PS \parallel BD$ , $SQ \perp BC$ , $PR \perp CD$ . Además, asuma que las líneas $PR, SQ$ , y $AC$ son concurrentes. Demuestre que los puntos $P, Q, R, S$ son concíclicos.

Sea $c \geq 4$ un entero par. En alguna liga de fútbol, cada equipo tiene un uniforme de local y un uniforme de visitante. Cada uniforme de local está coloreado en dos colores diferentes, y cada uniforme de visitante está coloreado en un color. El uniforme de visitante de un equipo no puede estar coloreado en uno de los colores del uniforme de local. Hay como máximo $c$ colores distintos en todos los uniformes. Si dos equipos tienen los mismos dos colores en sus uniformes de local, entonces tienen diferentes colores en sus uniformes de visitante. Decimos que un par de uniformes están en conflicto si algún color aparece en ambos. Suponga que para cada equipo $X$ en la liga, no hay ningún equipo $Y$ en la liga tal que el uniforme de local de $X$ esté en conflicto con ambos uniformes de $Y$ . Determine el número máximo posible de equipos en la liga.

Encuentre el entero más pequeño $b$ con la siguiente propiedad: Para cada forma de colorear exactamente $b$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ de verde, se pueden colocar $7$ alfiles en $7$ cuadrados verdes de modo que no haya dos alfiles que se ataquen entre sí.

Si $a, b, c, d>0$ y $abcd=1$ , demuestre que $$\frac{ab+1}{a+1}+\frac{bc+1}{b+1}+\frac{cd+1}{c+1}+\frac{da+1}{d+1} \geq 4. $$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

(a) Una función $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ se llama $\mathbb{Z}$ - buena si $f(a^2+b)=f(b^2+a)$ para todos los $a, b \in \mathbb{Z}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de valores distintos que pueden ocurrir entre $f(1), \ldots, f(2023)$ , donde $f$ es una función $\mathbb{Z}$ - buena? (b) Una función $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $\mathbb{N}$ - buena si $f(a^2+b)=f(b^2+a)$ para todos los $a, b \in \mathbb{N}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de valores distintos que pueden ocurrir entre $f(1), \ldots, f(2023)$ , donde $f$ es una función $\mathbb{N}$ - buena?