El incírculo de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC, CA, AB$ en $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. La línea $AI$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $A_2$. La línea $B_1 C_1$ se encuentra con la línea $BC$ en $A_3$ y la línea $A_2 A_3$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $A_4 (\ne A_2)$. Define $B_4, C_4$ de manera similar. Demuestra que las líneas $AA_4, BB_4, CC_4$ son concurrentes.

$M_n(\mathbb{C})$ es el espacio vectorial de todas las matrices complejas $n\times n$. Dada una aplicación lineal $T:M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$ tal que $\det (A)=\det(T(A))$ para cada $A\in M_n(\mathbb{C})$ . (1) Si $T(A)$ es la matriz cero, entonces demuestra que $A$ también es la matriz cero. (2) Prueba que $\text{rango} (A)=\text{rango} (T(A))$ para cualquier $A\in M_n(\mathbb{C})$ .

Para un número real $a$ y un entero $n(\geq 2)$ , define $$S_n (a) = n^a \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2019} (n-k)^{2019}}$$ Encuentra cada valor de $a$ tal que la secuencia $\{S_n(a)\}_{n\geq 2}$ converge a un real positivo.

Una función $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ es integrable y $$\int_0^\infty f(x)^2 dx<\infty,\quad \int_0^\infty xf(x) dx <\infty$$ Prueba la siguiente desigualdad. $$\left(\int_0^\infty f(x) dx \right)^3 \leq 8\left(\int_0^\infty f(x)^2 dx \right) \left(\int_0^\infty xf(x) dx \right)$$

Una secuencia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ se define por una relación de recurrencia $$a_1 = 1,\quad a_{n+1} = \log \frac{e^{a_n}-1}{a_n}$$ Y una secuencia $\{b_n\}_{n\geq 1}$ se define como $b_n = \prod\limits_{i=1}^n a_i$ . Evalúa una serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ .

Para cualquier matriz unitaria $n\times n$, $A,B$ , prueba que $|\det (A+2B)|\leq 3^n$ .

Dos campos vectoriales $\mathbf{F},\mathbf{G}$ se definen en una región tridimensional $W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2\leq 1, |z|\leq 1\}$ . $$\mathbf{F}(x,y,z) = (\sin xy, \sin yz, 0),\quad \mathbf{G} (x,y,z) = (e^{x^2+y^2+z^2}, \cos xz, 0)$$ Evalúa la siguiente integral. \[\iiint_{W} (\mathbf{G}\cdot \text{curl}(\mathbf{F}) - \mathbf{F}\cdot \text{curl}(\mathbf{G})) dV\]

Se dan las matrices $A$ y $B$ de la siguiente manera. \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{pmatrix}\] Encuentra el volumen de $V=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 : \mathbf{x}\cdot A\mathbf{x} \leq 1 < \mathbf{x}\cdot B\mathbf{x} \}$ .

Sea $A = \begin{pmatrix} 2019 & 2020 & 2021 \\ 2020 & 2021 & 2022 \\ 2021 & 2022 & 2023 \end{pmatrix}$. Encuentra $\text{rango}(A)$ .

Veinte hormigas viven en las caras de un icosaedro, una hormiga en cada lado, donde el icosaedro tiene cada lado con longitud 1. Cada hormiga se mueve en sentido antihorario en cada cara, a lo largo del lado/bordes. La velocidad de cada hormiga debe ser no menor que 1 siempre. Además, si dos hormigas se encuentran, deben encontrarse en el vértice del icosaedro. Si cinco hormigas se encuentran al mismo tiempo en un vértice, llamamos a eso una colisión . ¿Pueden las hormigas moverse para siempre, de tal manera que no ocurra ninguna colisión?