N1 Un número se denomina noruego si tiene tres divisores positivos distintos cuya suma es igual a $2022$ . Determine el menor número noruego. (Nota: se permite que el número total de divisores positivos de un número noruego sea mayor que $3$ .) ike.chen

8 Determine el menor número impar $a > 5$ que satisface las condiciones siguientes: existen enteros positivos $m_1,m_2, n_1, n_2$ tales que $a=m_1^2+n_1^2$, $a^2=m_2^2+n_2^2$, y $m_1-n_1=m_2-n_2.$ Amir

6 Un plano no contiene ningún vértice de un dodecaedro regular; intente hallar cuántas aristas como máximo puede intersecar el plano al dodecaedro regular.

1 Sean $ A,B,C,D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos con diámetros $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ X$ y $ Y$ . La recta $ XY$ corta a $ BC$ en $ Z$ . Sea $ P$ un punto de la recta $ XY$ distinto de $ Z$ . La recta $ CP$ interseca al círculo con diámetro $ AC$ en $ C$ y $ M$ , y la recta $ BP$ interseca al círculo con diámetro $ BD$ en $ B$ y $ N$ . Demuestre que las rectas $ AM,DN,XY$ son concurrentes.

2 Sean $x,y,z \ge 1$ números reales tales que \[ \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{y^2-1} + \frac{1}{z^2-1} = 1. \] Demuestre que \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \le 1. \]

15 Sean $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3$ nueve números reales estrictamente positivos. Definimos \[S_1 = a_1b_2c_3, \quad S_2 = a_2b_3c_1, \quad S_3 = a_3b_1c_2;\] \[T_1 = a_1b_3c_2, \quad T_2 = a_2b_1c_3, \quad T_3 = a_3b_2c_1.\] Suponga que el conjunto $\{S1, S2, S3, T1, T2, T3\}$ tiene a lo sumo dos elementos. Demuestre que \[S_1 + S_2 + S_3 = T_1 + T_2 + T_3.\] Amir

2 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$ . Demuestre que \[ \frac {1}{a^{3}\left(b + c\right)} + \frac {1}{b^{3}\left(c + a\right)} + \frac {1}{c^{3}\left(a + b\right)}\geq \frac {3}{2}. \]

3 Determine todos los enteros $ n > 3$ para los cuales existen $ n$ puntos $ A_{1},\cdots ,A_{n}$ en el plano, sin tres colineales, y números reales $ r_{1},\cdots ,r_{n}$ tales que para $ 1\leq i < j < k\leq n$ , el área de $ \triangle A_{i}A_{j}A_{k}$ es $ r_{i} + r_{j} + r_{k}$ .

4 Halle el valor máximo de $ x_{0}$ para el cual existe una sucesión $ x_{0},x_{1}\cdots ,x_{1995}$ de reales positivos con $ x_{0} = x_{1995}$ , tal que \[ x_{i - 1} + \frac {2}{x_{i - 1}} = 2x_{i} + \frac {1}{x_{i}}, \] para todo $ i = 1,\cdots ,1995$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente. Sea $F$ el punto tal que $D$ es el punto medio de $\overline{EF}$. Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $FDB$. Sea $G$ un punto en el segmento $\overline{CD}$ tal que el punto medio de $\overline{BG}$ está en $\Gamma$. Sea $H$ la segunda intersección de $\Gamma$ con $FC$. Demuestra que el cuadrilátero $BHGC$ es cíclico. Propuesto por Art Waeterschoot.