4 Halle el valor máximo de $ x_{0}$ para el cual existe una sucesión $ x_{0},x_{1}\cdots ,x_{1995}$ de reales positivos con $ x_{0} = x_{1995}$ , tal que \[ x_{i - 1} + \frac {2}{x_{i - 1}} = 2x_{i} + \frac {1}{x_{i}}, \] para todo $ i = 1,\cdots ,1995$ .

3 Determine todos los enteros $ n > 3$ para los cuales existen $ n$ puntos $ A_{1},\cdots ,A_{n}$ en el plano, sin tres colineales, y números reales $ r_{1},\cdots ,r_{n}$ tales que para $ 1\leq i < j < k\leq n$ , el área de $ \triangle A_{i}A_{j}A_{k}$ es $ r_{i} + r_{j} + r_{k}$ .

N5 Para un entero no negativo $n$ defina $\operatorname{rad}(n)=1$ si $n=0$ o $n=1$ , y $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k$ , donde $p_1<p_2<\cdots <p_k$ son todos los factores primos de $n$ . Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos tales que $\operatorname{rad}(f(n))$ divide a $\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)}))$ para todo entero no negativo $n$ .

G7 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ , respectivamente. Sean los segmentos $PR$ y $QS$ que se cortan en $O$ . Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$ , $BQOP$ , $CROQ$ y $DSOR$ tiene una circunferencia inscrita. Demuestre que las rectas $AC$ , $PQ$ y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

A5 Sea $2\mathbb{Z} + 1$ el conjunto de los enteros impares. Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z} \mapsto 2\mathbb{Z} + 1$ que satisfacen \[ f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y) \] para todos $x, y \in \mathbb{Z}$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , cuyo incentro es $I$ . Sea $P$ un punto de la circunferencia circunscrita del triángulo $AIB$ situado en el interior del triángulo $ABC$ . Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $CA$ y $CB$ cortan a $AB$ en $D$ y $E$ , respectivamente. La recta que pasa por $P$ paralela a $AB$ corta a $CA$ y $CB$ en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $DF$ y $EG$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Propuesto por Hojoo Lee

6 Cada par de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de sus longitudes. Demuestre que todos los ángulos del hexágono son iguales.

7 Sea $ABC$ un triángulo con semiperímetro $s$ e inradio $r$ . Los semicírculos con diámetros $BC$ , $CA$ , $AB$ se trazan hacia el exterior del triángulo $ABC$ . El círculo tangente a estos tres semicírculos tiene radio $t$ . Demuestre que \[\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r. \] Formulación alternativa. En un triángulo $ABC$ , constrúyanse círculos con diámetros $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Constrúyase un círculo $w$ tangente exteriormente a estos tres círculos. Sea $t$ el radio de este círculo $w$ . Demuestre: $\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\frac12\left(2-\sqrt3\right)r$ , donde $r$ es el inradio y $s$ es el semiperímetro del triángulo $ABC$ . Propuesto por Dirk Laurie, Sudáfrica

1 Sea $m$ un entero fijo mayor que $1$ . La sucesión $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ se define como sigue: \[x_i = \begin{cases}2^i&\text{if }0\leq i \leq m - 1;\\\sum_{j=1}^mx_{i-j}&\text{if }i\geq m.\end{cases}\] Halle el mayor $k$ para el cual la sucesión contiene $k$ términos consecutivos divisibles por $m$ . Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

15 Considere todas las sumas de la forma \[\displaystyle\sum_{k=1}^{1985} e_kk^5=\pm 1^5\pm 2^5\pm\cdots\pm1985^5\] donde $e_k=\pm 1$ . ¿Cuál es el menor valor no negativo alcanzado por una suma de este tipo?