Dos enteros $n, k$ satisfacen $n \ge 2$ y $k \ge \frac{5}{2}n-1$. Demuestre que cualesquiera $k$ puntos de la red con coordenada $x$ e $y$ no menores que $1$ y no mayores que $n$ que escojamos, debe haber un círculo que pase por al menos cuatro de estos puntos.

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, denote $D, E$ como el pie de la perpendicular desde $B$ a $AC$ y $C$ a $AB$. Denote el reflejo de $E$ con respecto a $AC, BC$ como $S, T$. El circuncírculo de $\triangle CST$ golpea a $AC$ en el punto $X (\not= C)$. Denote el circuncentro de $\triangle CST$ como $O$. Demuestre que $XO \perp DE$.

Considera un triángulo $ABC$ , inscrito en $O$ y $\angle A < \angle B$ . Algún punto $P$ fuera del círculo satisface $$\angle A=\angle PBA =180^{\circ}- \angle PCB$$ Sea $D$ la intersección de la línea $PB$ y $O$ (diferente de $B$ ) , y $Q$ la intersección de la línea tangente de $O$ que pasa por $A$ y la línea $CD$ . Demostrar que $CQ : AB=AQ^2:AD^2$ .

Encuentra todas las funciones $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$f(x^2-g(y))=g(x)^2-y$$ para todo $x,y \in \mathbb{R}$

El incentro y el $A$ - excentro de $\triangle{ABC}$ son $I$ y $O$. El pie desde $A,I$ a $BC$ es $D$ y $E$. La intersección de $AD$ y $EO$ es $X$. El circuncentro de $\triangle{BXC}$ es $P$. Demuestra que el circuncírculo de $\triangle{BPC}$ es tangente al $A$ - excírculo si $X$ está en el incírculo de $\triangle{ABC}$.

Hay $n$ ($\ge 2$) clubes $A_1,A_2,...A_n$ en la Sociedad Matemática de Corea. Demuestra que existen $n-1$ conjuntos $B_1,B_2,...B_{n-1}$ que satisfacen la condición de abajo.\n(1) $A_1\cup A_2\cup \cdots A_n=B_1\cup B_2\cup \cdots B_{n-1}$\n(2) para cualquier $1\le i<j\le n-1$ , $B_i\cap B_j=\emptyset, -1\le\left\vert B_i \right\vert -\left\vert B_j \right\vert\le 1$\n(3) para cualquier $1\le i \le n-1$ , existen $A_k,A_j $ ( $1\le k\le j\le n$ ) tal que $B_i\subseteq A_k\cup A_j$

Sea $P$ un conjunto de personas. Para dos personas $A$ y $B$, si $A$ conoce a $B$, $B$ también conoce a $A$. Cada persona en $P$ conoce a $2$ o menos personas en el conjunto. $S$, un subconjunto de $P$ con $k$ personas, se llama conjunto k-independiente de $P$ si dos personas cualesquiera en $S$ no se conocen entre sí. $X_1, X_2, …, X_{4041}$ son conjuntos 2021-independientes de $P$ (no necesariamente distintos). Demuestra que existe un conjunto 2021-independiente de $P$, $\{v_1, v_2, …, v_{2021}\}$, que satisface la siguiente condición: Para algún entero $1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{2021} \leq 4041$, $v_1 \in X_{i_1}, v_2 \in X_{i_2}, \ldots, v_{2021} \in X_{i_{2021}}$\nGráficamente: Sea $G$ un grafo simple finito con grado máximo a lo sumo $2$. Sean $X_1, X_2, \ldots, X_{4041}$ conjuntos independientes de tamaño $2021$ (no necesariamente distintos). Demuestra que existe otro conjunto independiente $\{v_1, v_2, \ldots, v_{2021}\}$ de tamaño $2021$ e índices $1 \le t_1 < t_2 < \cdots < t_{2021} \le 4041$ tal que $v_i \in X_{t_i}$ para todo $i$.

Dado un entero positivo $k(\ge 8)$. Demuestra que si existe un par de enteros positivos $(x,y)$ que satisface las siguientes condiciones, entonces existen infinitos pares $(x,y)$.\n(1) $x\mid y^2-3, y\mid x^2-2$\n(2) $gcd\left(3x+\frac{2(y^2-3)}{x},2y+\frac{3(x^2-2)}{y}\right)=k$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y circuncentro $O$. La línea perpendicular a $AI$ que pasa por $I$ intersecta a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. La línea paralela a $BI$ que pasa por $D$ y la línea paralela a $CI$ que pasa por $E$ se intersectan en $F$. Denotemos el circuncírculo de $DEF$ como $\omega$, y su centro como $K$. $\omega$ y $FI$ se intersectan en $P$ ($\neq F$). Demuestra que $O,K,P$ son colineales.

Se dice que un conjunto $X$ es elegante si satisface todas las siguientes condiciones: El número de elementos de $X$ es $2022$ . Cada elemento de $X$ es un intervalo cerrado contenido en $[0, 1]$ . Para cualquier número real $r \in [0, 1]$ , el número de elementos de $X$ que contienen a $r$ es menor o igual que $1011$ . Para conjuntos elegantes $A, B$ , e intervalos $I \in A, J \in B$ , denotemos por $n(A, B)$ el número de pares $(I, J)$ tales que $I \cap J \neq \emptyset$ . Determine el valor máximo de $n(A, B)$ .