27 Sea $ABC$ un triángulo escaleno arbitrario. Defina $\sum$ como el conjunto de todos los círculos $y$ que tienen las siguientes propiedades: (i) $y$ corta a cada lado de $ABC$ en dos puntos (posiblemente coincidentes); (ii) si los puntos de intersección de $y$ con los lados del triángulo se etiquetan como $P, Q, R, S, T , U$ , apareciendo los puntos sobre los lados en los órdenes $\mathcal B(B,P,Q,C), \mathcal B(C, R, S,A), \mathcal B(A, T,U,B)$ , entonces se cumplen las siguientes relaciones de paralelismo: $TS \parallel BC; PU\parallel CA; RQ\parallel AB$ . (En los casos límite, algunas de las condiciones de paralelismo se cumplen de manera vacua; por ejemplo, si $A$ está sobre el círculo $y$ , entonces $T$ y $S$ coinciden ambos con $A$ y la relación $TS \parallel BC$ se cumple de manera vacua.) (a) ¿Bajo qué circunstancias es $\sum$ no vacío? (b) Suponiendo que Σ es no vacío, muestre cómo construir el lugar geométrico de los centros de los círculos del conjunto $\sum$ . (c) Dado que el conjunto $\sum$ tiene un solo elemento, deduzca la medida del mayor ángulo de $ABC.$ (d) Muestre cómo construir los círculos de $\sum$ que tienen, respectivamente, el mayor y el menor radio. Amir