Encuentre todos los pares de funciones $ f, g: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que (i) si $ x < y$ , entonces $ f(x) < f(y)$ ; (ii) $ f(xy) = g(y)f(x) + f(y)$ para todo $ x, y \in \mathbb R$ .

La circunferencia inscrita de un triángulo $ A_1A_2A_3$ está centrada en $ O$ e interseca el segmento $ OA_j$ en $ B_j$ , $ j = 1, 2, 3$ . Un círculo con centro $ B_j$ es tangente a los dos lados del triángulo que tienen a $ A_j$ como un extremo e interseca el segmento $ OB_j$ en $ C_j$ . Demuestre que \[ \frac{OC_1+OC_2+OC_3}{A_1A_2+A_2A_3+A_3A_1} \leq \frac{1}{4\sqrt{3}}\] y encuentre las condiciones para la igualdad.

Una palabra es una secuencia de 0 y 1 de longitud 8. Sean $ x$ e $ y$ dos palabras que difieren exactamente en tres lugares. Demuestre que el número de palabras que difieren de cada una de $ x$ e $ y$ en al menos cinco lugares es 188.

Sea $F_n$ el conjunto de todas las funciones biyectivas $f:\left\{1,2,\ldots,n\right\}\rightarrow\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ que satisfacen las condiciones: 1. $f(k)\leq k+1$ para todo $k\in\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ 2. $f(k)\neq k$ para todo $k\in\left\{2,3,\ldots,n\right\}$ Hallar la probabilidad de que $f(1)\neq1$ para $f$ elegido aleatoriamente de $F_n$ .

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ , $O_1$ un círculo que pasa por $B$ tangente a $CI$ , y $O_2$ un círculo que pasa por $C$ tangente a $BI$ . Demostrar que $O_1$ , $O_2$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ tienen un punto en común.

Sean $ x,y,z$ números reales positivos que satisfacen $ x+y+z=xyz$ . Demostrar que: \[\frac1{\sqrt{1+x^2}}+\frac1{\sqrt{1+y^2}}+\frac1{\sqrt{1+z^2}}\leq\frac{3}{2}\]

Denotemos por $\phi(n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ el número de enteros positivos menores que $n$ y relativamente primos a $n$ . Además, denotemos por $\omega(n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ el número de divisores primos de $n$ . Dado que $\phi(n)|n-1$ y $\omega(n)\leq 3$ . Demostrar que $n$ es un número primo.

Sean $D$ , $E$ , $F$ puntos en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$ . Las rectas $AD$ , $BE$ , $CF$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $P$ , $Q$ , $R$ , respectivamente. Demostrar que: \[\frac{AD}{PD}+\frac{BE}{QE}+\frac{CF}{RF}\geq 9\] y encontrar los casos de igualdad.

Hallar todos los enteros positivos $l, m, n$ primos relativos por pares tales que \[(l+m+n)\left( \frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\] es un entero.

Para un entero positivo \( n \) , sea \( \tau(n) \) denota el número de divisores positivos de \( n \) . Determinar todos los enteros positivos \( K \) tales que la ecuación \[ \tau(x) = \tau(y) = \tau(z) = \tau(2x + 3y + 3z) = K \] se cumple para algunos enteros positivos $x,y,z$ .