Se da un entero positivo $n$. Si existen conjuntos $F_1, F_2, \cdots F_m$ que satisfacen las siguientes condiciones, demuestre que $m \le n$. (Para los conjuntos $A, B$, $|A|$ es el número de elementos de $A$. $A-B$ es el conjunto de elementos que están en $A$ pero no en $B$. $\text{min}(x,y)$ es el número que no es mayor que el otro.) (i): Para todo $1 \le i \le m$, $F_i \subseteq \{1,2,\cdots,n\}$ (ii): Para todo $1 \le i < j \le m$, $\text{min}(|F_i-F_j|,|F_j-F_i|) = 1$

Un trapecio isósceles $ABCD$, inscrito en $\omega$, satisface $AB=CD, AD<BC, AD<CD$. Un círculo con centro $D$ y que pasa por $A$ golpea a $BD, CD, \omega$ en $E, F, P(\not= A)$, respectivamente. Sea $AP \cap EF = Q$, y $\omega$ se encuentra con $CQ$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle BEQ$ en $R(\not= C), S(\not= B)$, respectivamente. Demuestre que $\angle BER= \angle FSC$.

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x,y,z$, tenemos $$(f(x)+1)(f(y)+f(z))=f(xy+z)+f(xz-y)$$

Para enteros positivos $n, k, l$, definimos el número de $l$ -tuplas de enteros positivos $(a_1,a_2,\cdots a_l)$ que satisfacen lo siguiente como $Q(n,k,l)$. (i): $n=a_1+a_2+\cdots +a_l$ (ii): $a_1>a_2>\cdots > a_l > 0$ . (iii): $a_l$ es un número impar. (iv): Hay $k$ números impares de $a_i$ . Por ejemplo, de $9=8+1=6+3=6+2+1$, tenemos $Q(9,1,1)=1$, $Q(9,1,2)=2$, $Q(9,1,3)=1$. Demuestre que si $n>k^2$, $\sum_{l=1}^n Q(n,k,l)$ es $0$ o un número par.

Reales $a,b,c,x,y$ satisfacen $a^2+b^2+c^2+x^2+y^2=1$. Encuentre el valor máximo de $$(ax+by)^2+(bx+cy)^2$$

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$. Un punto $D$ se encuentra en el segmento $BC$, y $E$ se encuentra en el segmento $AD$. Sea el rayo $AD \cap \omega = F$. Un punto $M$, que se encuentra en $\omega$, biseca a $AF$ y está en el otro lado de $C$ con respecto a $AF$. El rayo $ME \cap \omega = G$, el rayo $GD \cap \omega = H$, y $MH \cap AD = K$. Demuestre que $B, E, C, K$ son cíclicos.

Para un entero positivo $m$, demuestre que el número de pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen las siguientes dos condiciones es par o $0$. (i): $x^2-3y^2+2=16m$ (ii): $2y \le x-1$

Sean $ p_1,p_2,\dots,p_r$ primos distintos, y sean $ n_1,n_2,\dots,n_r$ números naturales arbitrarios. Demuestre que el número de pares de enteros $ (x, y)$ tales que \[ x^3 + y^3 = p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}\] no excede $ 2^{r+1}$ .

Para números positivos $ a_1,a_2,\dots,a_n$ , definimos \[ A=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}, \quad G=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}, \quad H=\frac{n}{a_1^{-1}+\cdots+a_n^{-1}}\] Demuestre que (i) $ \frac{A}{H}\leq -1+2\left(\frac{A}{G}\right)^n$ , para n par (ii) $ \frac{A}{H}\leq -\frac{n-2}{n}+\frac{2(n-1)}{n}\left(\frac{A}{G}\right)^n$ , para $ n$ impar

Dado un entero positivo $ n$ , encuentre el número de números naturales de $ n$ dígitos que constan de dígitos 1, 2, 3 en los que dos dígitos adyacentes son distintos o ambos iguales a 3.