Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB=BC,CD=DE, EF=FA.$ Demuestre que $\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge\frac{3}{2}$ y encuentre cuándo se cumple la igualdad.

Para el entero positivo $n,$ sea $a_n=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\binom{n-2}{k}(-\frac{1}{4})^k.$ Encuentre $a_{1997}.$ (Para real $x,$ $[x]$ se define como el entero más grande que no excede $x.$ )

Sea $f(n)$ el número de formas de expresar el entero positivo $n$ como una suma de enteros impares positivos. Calcule $f(n).$ (Si el orden de los números impares es diferente, entonces se considera como una expresión diferente.)

Sea f:N→N una función que satisface $ kf(n)\le f(kn)\le kf(n) + k - 1$ para todos los $ k, n\in N$ . (a) Pruebe que $ f(a) + f(b)\le f(a + b)\le f(a) + f(b) + 1$ para todos los $ a, b\in N$ . (b) Si $ f$ satisface $ f(2007n)\le 2007f(n) + 200$ para cada $ n\in N$ , demuestre que existe $ c\in N$ tal que $ f(2007c) = 2007f(c)$ .

Para el vértice $ A$ de un triángulo $ ABC$ , sea $ l_a$ la distancia entre las proyecciones sobre $ AB$ y $ AC$ de la intersección de la bisectriz del ángulo $ \angle A$ con el lado $ BC$ . Define $ l_b$ y $ l_c$ análogamente. Si $ l$ es el perímetro del triángulo $ ABC$ , demuestre que $$ \frac{l_a l_b l_c}{l^3}\le\frac{1}{64}.$$

Encuentra todos los pares $ (p, q)$ de primos tales que $ {p}^{p}+{q}^{q}+1$ es divisible por $ pq$ .

Encuentra todas las ternas de $ (x, y, z)$ de enteros positivos que satisfacen $ 1+{4}^{x}+{4}^{y}=z^2$ .

Dada una tabla de cuadrados de $ 4\times 4$. ¿De cuántas maneras podemos llenar la tabla con $ \{0,1\}$ tal que dos cuadrados vecinos (que tienen un lado en común) tengan un producto que sea igual a $ 0$ ?

Sea $ O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ ABC$ y sea $ k$ el círculo con centro $ P$ que es tangente a $ O$ en $ A$ y tangente al lado $ BC$ en $ D$ . El círculo $ k$ se encuentra con $ AB$ y $ AC$ de nuevo en $ E$ y $ F$ respectivamente. Las líneas $ OP$ y $ EP$ se encuentran con $ k$ de nuevo en $ I$ y $ G$ . Las líneas $ BO$ y $ IG$ se intersecan en $ H$ . Demuestra que $ \frac{{DF}^2}{AF}=GH$ .

$C$ es el círculo unitario en algún plano. $R$ es un cuadrado con lado $a$. $C$ está fijo y $R$ se mueve (sin rotación) en el plano, de tal manera que su centro permanece dentro de $C$ (incluyendo los límites). Encuentre el valor máximo del área dibujada por el rastro de $R$.