Decimos que un entero positivo es rojo si es de la forma $n^{2020}$ , donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un entero positivo es azul si no es rojo y es de la forma $n^{2019}$ , donde $n$ es un entero positivo. ¿Verdadero o falso?: Entre cada dos enteros positivos rojos diferentes mayores que $10^{100{,}000{,}000}$ , hay al menos 2019 enteros positivos azules. Demuestra que tu respuesta es correcta.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con lado de longitud $1$. Decimos que un punto $X$ en el lado $\overline{BC}$ está balanceado si existe un punto $Y$ en el lado $\overline{AC}$ y un punto $Z$ en el lado $\overline{AB}$ tal que el triángulo $XYZ$ es un triángulo rectángulo isósceles con $XY = XZ$. Encuentre con prueba la longitud del conjunto de todos los puntos balanceados en el lado $\overline{BC}$ .

Sean $A_1$ , $A_2$ , $\ldots\,$ , $A_n$ conjuntos finitos. Demostrar que\n\[ \Bigl| \bigcup_{1 \le i \le n} A_i \Bigr| \ge \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le n} \left| A_i \right| - \frac{1}{6} \sum_{1 \le i < j \le n} \left| A_i \cap A_j \right| \, .\n\] Recuerde que si $S$ es un conjunto finito, entonces su cardinalidad $|S|$ es el número de elementos de $S$ .

Sea $f$ una función del conjunto de los números racionales al conjunto de los números reales. Suponga que para todos los números racionales $r$ y $s$, la expresión $f(r + s) - f(r) - f(s)$ es un entero. Demuestre que existe un entero positivo $q$ y un entero $p$ tal que\n\[ \Bigl\lvert f\Bigl(\frac{1}{q}\Bigr) - p \Bigr\rvert \le \frac{1}{2012} \, .\n\]

Recuerde que los números de Fibonacci se definen recursivamente por la ecuación $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ para cada entero $n \ge 2$, con valores iniciales $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$. Sea $k$ un entero positivo. Se dice que un entero es $k$ - sumable si es la suma de $k$ números de Fibonacci (no necesariamente distintos).\n(a) Demuestre que todo entero positivo menor que $F_{2k + 3} - 1$ es $k$ - sumable.\n(b) Demuestre que $F_{2k + 3} - 1$ no es $k$ - sumable.

Sean $m$ y $n$ enteros mayores que 1. Demuestre que $\left\lfloor \dfrac{mn}{6} \right\rfloor$ rectángulos 2 por 3 no superpuestos se pueden colocar en un rectángulo $m$ - por - $n$. Nota: $\lfloor x \rfloor$ significa el entero más grande que es menor o igual que $x$.

Sea $A_1A_2 \dots A_n$ un polígono (no necesariamente regular) con $n$ lados. Suponga que hay una traslación que mapea cada punto $A_i$ a un punto $B_i$ en el mismo plano. Para conveniencia, defina $A_0 = A_n$ y $B_0 = B_n$. Demuestre que\n\[ \sum_{i=1}^{n} (A_{i-1} B_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n} (B_{i-1} A_{i})^2 \, .\n\]

$u(t)$ es solución del siguiente problema de valor inicial. $$\begin{cases} u''(t) + u'(t) = \sin u(t) &\;\;(t>0),\ u(0)=1,\;\; u'(0)=0 & \end{cases}$$ (1) Demuestra que $u(t)$ y $u'(t)$ están acotadas en $t>0$ . (2) Halla $\lim\limits_{t\to\infty} u(t)$ con demostración.

Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple si $\{a_n\}$ es una secuencia decreciente de reales positivos, y $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ . $$\left|\sum_{n=1}^{2017} a_n \cos n\theta \right| \leq \frac{\pi a_1}{\theta}$$

Para un polinomio cúbico de coeficientes reales $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , denota las tres raíces de la ecuación $f(x)=0$ por $\alpha,\beta,\gamma$ . Demuestra que las tres raíces $\alpha,\beta,\gamma$ son números reales distintos si y solo si la matriz simétrica real $$\begin{pmatrix} 3 & p_1 & p_2 \ p_1 & p_2 & p_3 \ p_2 & p_3 & p_4 \end{pmatrix},\quad p_i = \alpha^i + \beta^i + \gamma^i$$ es definida positiva.