Dado un entero positivo $n$ y una matriz $A$ de $n\times n$ con valores reales . $J$ es una matriz de $n\times n$ con cada entrada igual a $1$ . Supongamos que $A$ satisface las siguientes relaciones. $$A+A^T = \frac{1}{n} J, \quad AJ = \frac{1}{2} J$$ Demuestra que $A^m-I$ es una matriz invertible para todo entero positivo impar $m$ .

Evalúa el siguiente límite. \[\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \int_0^\pi \sin^n x dx\]

Demuestra que cualquier polinomio de coeficientes reales $f(x,y)$ es una combinación lineal de polinomios de la forma $(x+ay)^k$ . ( $a$ es un número real y $k$ es un entero no negativo.)

La secuencia $\{a_n\}$ se define mediante la relación de recurrencia $a_{n+1} = 1+\frac{n^2}{a_n}$ . Dado $a_1>1$ , halla el valor de $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}$ con demostración.

Para cualquier entero positivo $x,y,z$ y $w,$ demuestre que $x^2,y^2,z^2$ y $w^2$ no pueden ser cuatro términos consecutivos de una secuencia aritmética.

Sean $X,Y,Z$ los puntos fuera del $\triangle ABC$ tales que $\angle BAZ=\angle CAY,\angle CBX=\angle ABZ,\angle ACY=\angle BCX.$ Demuestre que las líneas $AX, BY, CZ$ son concurrentes.

Sea $n(\geq 2)$ un entero dado y $T$ el conjunto de todas las matrices de $n\times n$ cuyas entradas son elementos del conjunto $S=\{1,\cdots,2017\}$ . Evalúa el siguiente valor. \[\sum_{A\in T} \text{det}(A)\]

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de cualquier triángulo $\triangle ABC$ opuestos a $A,B$ y $C,$ respectivamente. Sean $x,y,z$ las longitudes de las medianas desde $A,B$ y $C,$ respectivamente. Si $T$ es el área de $\triangle ABC$ , demuestre que $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\sqrt{\sqrt{3}T}$

Para cualquier número primo $p>2,$ y enteros $a$ y $b,$ si $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{(p-1)^3}=\frac{a}{b},$ demuestre que $a$ es divisible por $p.$

Encuentre todos los polinomios $P(x,y)$ para cualquier real $x,y$ tal que (i) $x^{100}+y^{100}\le P(x,y)\le 101(x^{100}+y^{100})$ (ii) $(x-y)P(x,y)=(x-1)P(x,1)+(1-y)P(1,y).$