En el triángulo $ABC$ , el incírculo, con centro $I$ , toca los lados $BC$ en el punto $D$ . La línea $DI$ se encuentra con $AC$ en $X$ . La línea tangente desde $X$ al incírculo (diferente de $AC$ ) interseca a $AB$ en $Y$ . Si $YI$ y $BC$ se intersecan en el punto $Z$ , demuestre que $AB=BZ$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A=60^{\circ}$ . Sean $E,F$ los pies de las alturas que pasan por $B,C$ respectivamente. Demuestra que $CE-BF=\tfrac{3}{2}(AC-AB)$

$P_1,P_2,\ldots,P_{100}$ son $100$ puntos en el plano, no tres de ellos son colineales. Para cada tres puntos, llame a su triángulo en el sentido de las agujas del reloj si el orden creciente de ellos está en el sentido de las agujas del reloj. ¿Puede el número de triángulos en el sentido de las agujas del reloj ser exactamente $2017$ ?

En el pentágono regular $ABCDE$ , la perpendicular en $C$ a $CD$ se encuentra con $AB$ en $F$ . Demuestra que $AE+AF=BE$ .

Farhad ha fabricado una máquina. Cuando la máquina se inicia, imprime algunos números especiales. La propiedad de esta máquina es que para cada entero positivo $n$, imprime exactamente uno de los números $n,2n,3n$. Sabemos que la máquina imprime $2$. Demuestra que no imprime $13824$.

Dos círculos $C,D$ son tangentes exteriores entre sí en el punto $P$. El punto $A$ está en el círculo $C$. Dibujamos $2$ tangentes $AM,AN$ desde $A$ al círculo $D$ ( $M,N$ son los puntos de tangencia). Los segundos puntos de encuentro de $AM,AN$ con $C$ son $E,F$, respectivamente. Demuestra que $\frac{PE}{PF}=\frac{ME}{NF}$.

Demuestra que para cada entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos tales que la suma de ellos es un cuadrado perfecto y el producto de ellos es un cubo perfecto.

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para infinitos valores racionales de $x$, la fracción $\frac{f(x)}{g(x)}$ es racional. Demuestre que $\frac{f(x)}{g(x)}$ puede escribirse como la razón de dos polinomios con coeficientes racionales.

Demuestre que si $D_1$ y $D_2$ son dos líneas alabeadas, entonces hay infinitas líneas rectas tales que sus puntos tienen la misma distancia de $D_1$ y $D_2.$

$G$ es un grafo con $n$ vértices $A_1,A_2,\ldots,A_n,$ tal que para cada par de vértices no adyacentes $A_i$ y $A_j$ , existe otro vértice $A_k$ que es adyacente tanto a $A_i$ como a $A_j$. (a) Encuentre el número mínimo de aristas en dicho grafo. (b) Si $n = 6$ y $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,$ y $A_6$ forman un ciclo de longitud $6,$ encuentre el número de aristas que deben agregarse a este ciclo para que se cumpla la condición anterior.