Encuentra todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para toda $x, y,$ \n\[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y.\]

Sean $ M$ y $ N$ dos puntos dentro del triángulo $ ABC$ tales que \n\[ \angle MAB = \angle NAC\quad \mbox{y}\quad \angle MBA = \angle NBC.\n\] Demuestra que \n\[ \frac {AM \cdot AN}{AB \cdot AC} + \frac {BM \cdot BN}{BA \cdot BC} + \frac {CM \cdot CN}{CA \cdot CB} = 1.\n\]

Un juego de un solo jugador se juega en una tabla de $m \times n$ con $m \times n$ nueces. Un lado de las nueces es negro, y el otro lado de ellas es blanco. Al principio del juego, hay una nuez en cada celda de la tabla y todas las nueces tienen su lado blanco hacia arriba excepto una celda en una esquina de la tabla que tiene el lado negro hacia arriba. En cada movimiento, debemos quitar una nuez que tiene su lado negro hacia arriba de la tabla e invertir todas las nueces en las celdas adyacentes (es decir, las celdas que comparten un lado común con la celda de la nuez quitada). Encuentra todos los pares $(m,n)$ para los cuales podemos quitar todas las nueces de la tabla.

Sea $n(r)$ el máximo número posible de puntos con coordenadas enteras en un círculo con radio $r$ en el plano cartesiano. Demuestra que $n(r) < 6\sqrt[3]{3 \pi r^2}.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $E$ y $F$ puntos variables en los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente, tales que $AE:EB=CF:FD$ . Sea $P$ el punto en el segmento $EF$ tal que $PE:PF=AB:CD$ . Demuestra que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de $E$ y $F$ .

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que para todos los enteros positivos $m,n$ , (i) $mf(f(m))=\left( f(m) \right)^2$ , (ii) Si $\gcd(m,n)=d$ , entonces $f(mn) \cdot f(d)=d \cdot f(m) \cdot f(n)$ , (iii) $f(m)=m$ si y sólo si $m=1$ .

Define la secuencia $(x_n)$ por $x_0 = 0$ y para toda $n \in \mathbb N,$ \[x_n=\begin{cases} x_{n-1} + (3^r - 1)/2,&\mbox{ si } n = 3^{r-1}(3k + 1);\\ x_{n-1} - (3^r + 1)/2, & \\mbox{ si } n = 3^{r-1}(3k + 2).\end{cases}\] donde $k \in \mathbb N_0, r \in \mathbb N$ . Demuestra que cada entero aparece en esta secuencia exactamente una vez.

Suponga que $p$ es un número primo. Encuentre el $n$ más pequeño tal que exista un grupo no abeliano $G$ con $|G|=p^n$ . SL es un acrónimo de Special Lesson. Este año nuestra lección especial fue Grupos y Simetrías.

a) demuestre que cada subgrupo discreto de $(\mathbb R^2,+)$ está en una de estas formas: i - $\{0\}$ . ii - $\{mv|m\in \mathbb Z\}$ para un vector $v$ en $\mathbb R^2$ . iii - $\{mv+nw|m,n\in \mathbb Z\}$ para dos vectores linealmente independientes $v$ y $w$ en $\mathbb R^2$ . (red $L$ ) b) demuestre que cada grupo finito de simetrías que fija el origen y la red $L$ está en una de estas formas: $\mathcal C_i$ o $\mathcal D_i$ que $i=1,2,3,4,6$ ( $\mathcal C_i$ es el grupo cíclico de orden $i$ y $\mathcal D_i$ es el grupo diedral de orden $i$ ) .

Suponga que $G<S_n$ es un subgrupo de permutaciones de $\{1,...,n\}$ con esta propiedad de que para cada $e\neq g\in G$ existe exactamente un $k\in \{1,...,n\}$ tal que $g.k=k$ . Demuestre que existe un $k\in \{1,...,n\}$ tal que para cada $g\in G$ tenemos $g.k=k$ .