Demostrar que si $n$ es suficientemente grande, en cada cuadrado de $n\times n$ que tiene un número natural escrito en cada una de sus celdas, uno puede encontrar un subcuadrado del cuadrado principal tal que la suma de los números en este subcuadrado es divisible por $1391$.

Demostrar que si $n$ es suficientemente grande, entonces para cada coloración de los subconjuntos del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con $1391$ colores, dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A$ y $B$ existen tales que $A$ , $B$ y $A\cup B$ son del mismo color.

Supongamos que $W(k,2)$ es el número más pequeño tal que si $n\ge W(k,2)$, para cada coloración del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con dos colores existe una progresión aritmética monocromática de longitud $k$. Demostrar que $W(k,2)=\Omega (2^{\frac{k}{2}})$.

Demostrar que para cada coloración de los puntos dentro o en el borde de un cuadrado con $1391$ colores, existe un hexágono regular monocromático.

Para cualesquiera dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c\left(n,0\right)=c\left(n,n\right)=1$ para toda $n\geq 0$ ; - $c\left(n+1,k\right)=2^{k}c\left(n,k\right)+c\left(n,k-1\right)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demuestra que $c\left(n,k\right)=c\left(n,n-k\right)$ para toda $n\geq k\geq 0$ .

En un triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo $BAC$ interseca a $BC$ en $D$ . El círculo $\Gamma$ que pasa por $A$ que es tangente a $BC$ en $D$ se encuentra con $AC$ nuevamente en $M$ . La línea $BM$ se encuentra con $\Gamma$ nuevamente en $P$ . Demuestra que la línea $AP$ es una mediana de $\triangle ABD.$

Sean dados $r_1,r_2,\ldots,r_n \in \mathbb R$ . Muestra que existe un subconjunto $I$ de $\{1,2,\ldots,n \}$ que tiene uno o dos elementos en común con los conjuntos $\{i,i + 1,i + 2\} , (1 \leq i \leq n- 2)$ tal que \n\[\left| {\mathop \sum \limits_{i \in I} {r_i}} \right| \geqslant \frac{1}{6}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left| {{r_i}} \right|.\]

Sea $ABC$ un triángulo dado. Considera cualquier pintado de puntos del plano en rojo y verde. Muestra que existen ya sea dos puntos rojos a la distancia $1$ , o tres puntos verdes formando un triángulo congruente al triángulo $ABC$ .

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB = BC, CD = DE$ y $EF = FA$ . Demuestra que \n\[\frac{AB}{BE}+\frac{CD}{AD}+\frac{EF}{CF} \geq \frac{3}{2}.\]

Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un entero $m$ tal que ${2^{n}-1}$ es un divisor de ${m^{2}+9}$ .