Una fábrica empaqueta sus productos en cajas cúbicas. En una tienda, colocan $512$ de estas cajas cúbicas juntas para formar un cubo grande de $8\times 8 \times 8$. Cuando la temperatura supera un límite en la tienda, es necesario separar el conjunto de $512$ cajas usando placas horizontales y verticales para que cada caja tenga al menos una cara que no toque otras cajas. ¿Cuál es el número mínimo de placas necesarias para este propósito?

En un pueblo con una población de $1000$, doscientas personas han sido infectadas por una enfermedad. Se puede hacer una prueba de diagnóstico para verificar si una persona está infectada, pero el resultado podría ser erróneo. Es decir, existe una probabilidad del $5\%$ de que el resultado de la prueba de una persona infectada muestre que no está infectada y una probabilidad del $5\%$ de que el resultado de la prueba de una persona sana muestre que está infectada. Elegimos al azar a alguien de la población de este pueblo y le hacemos la prueba de diagnóstico. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba declare que esa persona está infectada?

Queremos cubrir un rectángulo de $5 \times 137$ con las siguientes figuras, pruebe que esto es imposible. \[\text{Los cuadrados son iguales y todos son } \Huge{1 \times 1}\]

Sea $\alpha$ una raíz de la ecuación $x^3-5x+3=0$ y sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales. Pruebe que si $f(\alpha)$ es la raíz de la ecuación anterior, entonces $f(f(\alpha))$ también es una raíz.

(a) Considere el conjunto de todos los triángulos $ABC$ que están inscritos en un círculo con radio $R.$ ¿Cuándo es $AB^2+BC^2+CA^2$ máximo? Encuentre este máximo. (b) Considere el conjunto de todos los tetragonales $ABCD$ que están inscritos en una esfera con radio $R.$ ¿Cuándo es la suma de los cuadrados de las seis aristas de $ABCD$ máximo? Encuentre este máximo, y en este caso pruebe que todas las aristas son iguales.

Define la operación $\bigoplus$ en el conjunto de los números reales tal que \[x \bigoplus y = x+y-xy \qquad \forall x,y \in \mathbb R.\] Prueba que esta operación es asociativa.

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos en el plano $P.$ Encuentra el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano $P$ para los cuales $MB^2 + kMC^2 = a^2.$ ( $k$ y $a$ son dos números dados y $k>0.$ )

Sean $D$ y $D'$ dos líneas con las ecuaciones \[\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{4} \quad \text{y} \quad \frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-1}{3}.\] Encuentra la longitud de su perpendicular común.

Supón que \[S_n=\frac 59 \times \frac{14}{20} \times \frac{27}{35} \times \cdots \times \frac{2n^2-n-1}{2n^2+n-1}\] Encuentra $\lim_{n \to \infty} S_n.$

Encuentra el número de términos cuando expandimos $(a+b+c)^{99}$ (en el caso general).