Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que \[f(x+y)=f(x) \cdot f(y) \qquad \forall x,y \in \mathbb R\] Supón que $f(0) \neq 0$ y $f(0)$ existe y es finito $(f(0) \neq \infty)$ . Prueba que $f$ tiene derivada en cada punto $x \in \mathbb R.$

Considera la función \[f(x)= \sin \biggl( \frac{\pi}{2} \lfloor x \rfloor \biggr).\] Encuentra el periodo de $f$ y dibuja un diagrama de $f$ en un periodo. También prueba que $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe.

Sean $f$ y $g$ dos funciones tales que \[f(x)=\frac{1}{\lfloor | x | \rfloor}, \quad g(x)=\frac{1}{|\lfloor x \rfloor |}.\] Encuentra los dominios de $f$ y $g$ y luego prueba que \[\lim_{x \to -1^+} f(x)= \lim_{x \to 1^- } g(x).\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncírculo $\omega$ y $M$ sea cualquier punto en $\omega$. Sean $E$ y $F$ la intersección de $AB, CD$ y $AD, BC$ respectivamente. $ME$ intersecta las líneas $AD, BC$ en $P, Q$ y similarmente $MF$ intersecta las líneas $AB, CD$ en $R, S$. Sean las líneas $PS$ y $RQ$ se encuentran en $X$. Demuestre que cuando $M$ varía sobre $\omega$, $MX$ pasa por un punto fijo.

Las aristas de un grafo planar $G$ están coloreadas con azul o rojo. Demuestre que existe un vértice como $v$ tal que cuando recorremos $v$ a través de un ciclo completo, las aristas con el punto final en $v$ cambian su color como máximo dos veces. Clarificaciones para ciclo completo: Si todas las aristas con un punto final en $v$ son $(v, u_1), (v, u_2), \ldots, (v, u_k)$ tales que $u_1, u_2, \ldots, u_k$ están en el sentido de las agujas del reloj con respecto a $v$, entonces en la secuencia de $(v, u_1), (v, u_2), \ldots, (v, u_k), (v, u_1)$ hay como máximo dos $j$ tales que los colores de $(v, u_j), (v, u_{j+1})$ ( $j \mod k$ ) difieren.

Sean $a, b$ dos enteros positivos relativamente primos. También sean $m, n$ enteros positivos con $n > m$. Demuestre que $lcm[am + b, a(m + 1) + b, ..., an + b] \ge (n+1) \cdot \binom{n}{m}$.

Una red infinita está dividida con dominós. Demuestre que existen otros tres mosaicos con dominós, que no tienen ningún dominó en común con el mosaico existente ni entre sí. Clarificaciones para la red: Significa un tablero infinito que consta de celdas cuadradas.

Sea $n > 1$ un número natural y $T_{n}(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1 x^1 + a_0$. Suponga que para cada número real no nulo $t$ tenemos $T_{n}(t + \frac{1}{t}) = t^n + \frac{1}{t^n}$. Demuestre que para cada $0 \le i \le n-1$, $gcd(a_i, n) > 1$.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la $A$-altura. $E, F$ se definen en los segmentos $AD, BC$ respectivamente tales que $\frac{AE}{DE} = \frac{BF}{CF}$. Suponga que $G$ se encuentra en $AF$ tal que $BG \perp AF$. Demuestre que $EF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $CFG$.

Sean $a,b$ y $c$ números reales con $b,c >0.$ Pruebe que si $ a<b \ ( a>b),$ entonces \[\frac{a+c}{b+c} > \frac ab \qquad ( \frac{a+c}{b+c} < \frac ab) \] Y luego pruebe que $\frac{a+c}{b+c}$ está entre $1$ y $\frac ab.$