¿Cuántas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos estrictamente menores que $51$ existen tales que $a+b+c$ es divisible por $a, b$ y $c$?

Según las normas de una ciudad, los edificios de una calle no pueden tener más de $9$ pisos. Además, si el número de pisos de dos edificios es el mismo, sin importar lo lejos que estén el uno del otro, debe haber un edificio con un número mayor de pisos entre ellos. ¿Cuál es el número máximo de edificios que se pueden construir en un lado de una calle en esta ciudad?

Considera un triángulo $ABC$ en el que $AB=AC=15$ y $BC=18$. Los puntos $D$ y $E$ se eligen en $CA$ y $CB$, respectivamente, de modo que $CD=5$ y $CE=3$. El punto $F$ se elige en la semirrecta $\overrightarrow{DE}$ de modo que $EF=8$. Si $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es la intersección de $FM$ y $BC$, ¿cuál es la longitud de $CN$?

Una parte de un parque forestal que está situado entre dos carreteras se ha incendiado. El fuego se está extendiendo a una velocidad de $10$ kilómetros por hora. Si la distancia entre el punto de partida del incendio y ambas carreteras es de $10$ kilómetros, ¿cuál es el área de la región quemada después de dos horas en kilómetros cuadrados? (Suponga que las carreteras son líneas paralelas rectas y largas y que el fuego no entra en las carreteras)

La placa de matrícula de cada automóvil en Irán consta de un número de dos dígitos y un número de tres dígitos, así como una letra del alfabeto persa. El dígito $0$ no se usa en los dos números. A cada placa de matrícula, le asignamos el producto de los dos números que contiene. Por ejemplo, si los dos números son $12$ y $365$ en una placa de matrícula, el número asignado sería $12 \times 365 = 4380$. ¿Cuál es el promedio de todos los números asignados a todas las placas de matrícula posibles?

¿Cuál es el área encerrada entre la gráfica de $y=\lfloor 10x \rfloor + \sqrt{1-x^2}$ en el intervalo $[0,1]$ y el eje $x$?

Sea $n$ el entero positivo más pequeño tal que el resto de $3n+45$, cuando se divide por $1060$, es $16$. Encuentra el resto de $18n+17$ al dividirlo por $1920$.

Hay $128$ asientos numerados dispuestos alrededor de un círculo en una palestra. La primera persona en entrar al lugar se sentaría en el asiento número $1$. Dado que una enfermedad contagiosa está infectando a la gente de la ciudad, cada persona que entra en la palestra se sentaría en un asiento cuya distancia sea la más larga al asiento ocupado más cercano. Si hay varios asientos de este tipo, la persona recién ingresada se sentaría en el asiento con el número más pequeño. ¿Cuál es el número del asiento en el que se sienta la persona número $39$?

Hay $5$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales. Dibujamos todos los segmentos cuyos vértices son estos puntos. ¿Cuál es el número mínimo de nuevos puntos hechos por la intersección de los segmentos dibujados?

¿Cuántos números de $8$ dígitos en base $4$ formados por los dígitos $1,2, 3$ son divisibles por $3$?