Encuentra el número de todas las $\text{permutaciones}$ de $\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ como $p$ tal que existe un único $i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ que : $$p(p(i)) \geq i$$

Sea $m$ un entero positivo. El entero positivo $a$ es llamado un residuo dorado módulo $m$ si $\gcd(a,m)=1$ y $x^x \equiv a \pmod m$ tiene una solución para $x$ . Dado un entero positivo $n$ , supón que $a$ es un residuo dorado módulo $n^n$ . Demuestra que $a$ es también un residuo dorado módulo $n^{n^n}$ .

Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros. Decimos que $P$ es bueno si existen infinitos números primos $q$ tales que el conjunto $$X=\left\{P(n) \mod q : \quad n\in \mathbb N\right\}$$ tiene al menos $\frac{q+1}{2}$ miembros. Demuestra que el polinomio $x^3+x$ es bueno.

Sea $F$ un subconjunto del conjunto de enteros positivos con al menos dos elementos y $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que para cualquier dos elementos distintos de $F$ como $a$ y $b$ , las siguientes dos condiciones se cumplen $a+b \in F$ , y $\gcd(P(a),P(b))=1$ . Demuestra que $P(x)$ es un polinomio constante.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $AD,BE,CF$ sus alturas. $FA_{1},DB_{1},EC_{1}$ son segmentos perpendiculares a $BC,AC,AB$ respectivamente. Demuestra que : $ABC$ ~ $A_{1}B_{1}C_{1}$

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario. Sean $E,E$ dos puntos en $AB,AC$ respectivamente tal que su distancia al punto medio de $BC$ es igual. Sea $P$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC,AEF$. Las tangentes desde $E,F$ a la circunferencia circunscrita de $AEF$ se intersecan entre sí en $K$. Demuestra que : $\angle KPA = 90$

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario, $P$ es el punto de intersección de la altura desde $C$ y la recta tangente desde $A$ a la circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo $A$ interseca a $BC$ en $D$. $PD$ interseca a $AB$ en $K$, si $H$ es el ortocentro entonces prueba : $HK\perp AD$

Encuentre todos los pares $(p,q)$ de números primos tales que \[m^{3pq} \equiv m \pmod{3pq} \qquad \forall m \in \mathbb Z.\]

Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $BC>CA$ . Sea $F$ el pie de la altura $CH$ del triángulo $ABC$ . La perpendicular a la línea $OF$ en el punto $F$ interseca a la línea $AC$ en $P$ . Demuestre que $\measuredangle FHP=\measuredangle BAC$ .

Determine todas las funciones $f : \mathbb N_0 \rightarrow \mathbb N_0 - \{1\}$ tales que \[f(n + 1) + f(n + 3) = f(n + 5)f(n + 7) - 1375, \qquad \forall n \in \mathbb N.\]