Llamamos a una función $g$ especial si $g(x)=a^{f(x)}$ (para todo $x$ ) donde $a$ es un entero positivo y $f$ es un polinomio con coeficientes enteros tal que $f(n)>0$ para todos los enteros positivos $n$ . Una función es llamada un polinomio exponencial si es obtenida de el producto o suma de funciones especiales. Por ejemplo, $2^{x}3^{x^{2}+x-1}+5^{2x}$ es un polinomio exponencial. Demuestra que no existe un polinomio exponencial no cero $f(x)$ y un polinomio no constante $P(x)$ con coeficientes enteros tal que $$P(n)|f(n)$$ para todos los enteros positivos $n$ .

Sean $p,q$ números primos ( $q$ es impar). Demuestra que existe un entero $x$ tal que: $$q |(x+1)^p-x^p$$ Si y solo si $$q \equiv 1 \pmod p$$

Dado el triángulo $\triangle ABC$ y sean $D,E,F$ los pies de las bisectrices de los ángulos de $A,B,C$ ,respectivamente. $M,N$ yacen en $EF$ tal que $AM=AN$ . Sea $H$ el pie de la $A$ - altura en $BC$ . Los puntos $K,L$ yacen en $EF$ tal que los triángulos $\triangle AKL, \triangle HMN$ son correspondientemente similares (con el orden dado de vértices) tal que $AK \not\parallel HM$ y $AK \not\parallel HN$ . Muestra que: $DK=DL$

Dado $\triangle ABC$ inscrito en $(O)$ y sean $I$ e $I_a$ su incentro y $A$ - excentro ,respectivamente. Las líneas tangentes a $(O)$ en $C,B$ intersecan la bisectriz del ángulo de $A$ en $M,N$ ,respectivamente. Las segundas líneas tangentes a través de $M,N$ intersecan a $(O)$ en $X,Y$ . Demuestra que $XYII_a$ es cíclico.

En el triángulo $ABC$, $w$ es un círculo que pasa a través de $B,C$ e interseca a $AB,AC$ en $E,F$ respectivamente. $BF,CE$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B',C'$ respectivamente. Sea $A'$ un punto en $BC$ tal que $\angle C'A'B=\angle B'A'C$ . Demuestra que si cambiamos $w$ , entonces todas las circunferencias circunscritas de los triángulos $A'B'C'$ pasan a través de un punto común.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb {R}^{+} \rightarrow \mathbb {R}^{+} $ tales que para todos los números reales positivos $x,y:$ $$f(y)f(x+f(y))=f(x)f(xy)$$

Sean $a,b,c \in \mathbb {R}^{+}$ y $abc=1$ prueba que: $\frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geq \frac {2}{a+b+c}$

Sea $P(x) \in \mathbb {Z}[X]$ un polinomio de grado $2016$ sin raíces racionales. Demuestra que existe un polinomio $T(x) \in \mathbb {Z}[X]$ de grado $1395$ tal que para todas las raíces distintas (no necesariamente reales) de $P(x)$ como $(\alpha ,\beta):$ $$T(\alpha)-T(\beta) \not \in \mathbb {Q}$$ Nota: $\mathbb {Q}$ es el conjunto de números racionales.

Hay $24$ robots en el plano. Cada robot tiene un campo de visión de $70^{\circ}$. ¿Cuál es el número máximo de relaciones de observación? (Observar es una relación unilateral)

¿Es posible dividir una tabla de $7\times7$ en pocas partes $\text{conectadas}$ de celdas con el mismo perímetro? ( Un grupo de celdas es llamado $\text{conectado}$ si cualquier celda en el grupo, puede alcanzar otras celdas pasando a través de los lados de las celdas.)